Calcolare
\[
\int_{A} \frac{1}{3-z} d x d y d z
\]
esteso alla regione $A$ definita dalle disuguaglianze
\[
9 z \leq 1+y^{2}+9 x^{2}, \quad 0 \leq z \leq \sqrt{9-\left(y^{2}+9 x^{2}\right)}
\]
Calcolare
\[
\int_{A} \frac{1}{3-z} d x d y d z
\]
esteso alla regione $A$ definita dalle disuguaglianze
\[
9 z \leq 1+y^{2}+9 x^{2}, \quad 0 \leq z \leq \sqrt{9-\left(y^{2}+9 x^{2}\right)}
\]
1352
punti
Livello 3
Per come è definito il dominio A, un'idea potrebbe essere quella di integrare per strati paralleli al piano xy. Poichè hai 9z≤1+y²+9x² e 0≤z≤[9-(y²+9x²)]¹/², segue che 9z-1≤y²+9x²≤9-z² e z≥0, da cui hai che 9z-1≤9-z² e z≥0, cioè z²+9z-10≤0 e z≥0. Quindi mettendo a sistema le disequazioni z²+9z-10≤0 e z≥0, ottieni 0≤z≤1. In definitiva A={(x,y,z)∈ℝ³: 0≤z≤1, (x,y)∈Sz}, dove Sz={(x,y)∈ℝ²: 9z-1≤y²+9x²≤9-z²}
Il resto dei conti te li ho scritti su un foglio
438
punti
Livello 2
In alternativa, potevi passare subito a coordinate cilindriche generalizzate e ottenere il medesimo risultato
438
punti
Livello 2