scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse Y che a vertice(1/3;-1/16) E si incontra l’asse Y nel punto di ordinata a -5

Ciao Giada, buona domenica!

Innanzitutto, un piccolo appunto. Ti suggerisco caldamente di leggere le regole della community, ma al di là di questo, penso che la differenza tra titolo e corpo, in terzo liceo, tu la sappia. Quindi la prossima volta scrivi nel testo "Esercizio sulla parabola" e nel corpo il testo dell'esercizio. Poi, se vuoi aggiungere anche un "ciao", un "per favore" e un "grazie in anticipo", dimostrerai anche maturità e non ignoranza. Oltretutto, e concludo, spero che in terzo liceo tu conosca la differenza tra "a" preposizione semplice e "ha", terza persona singolare del verbo avere, tempo presente del modo indicativo; inoltre, spero che tu sappia gestire la punteggiatura in un testo. Quindi, gentilmente, la prossima volta scrivi in modo chiaro: è una questione di rispetto anche nei nostri confronti.

Detto ciò, passiamo all'esercizio. Non sto qui a richiamarti tutte le definizioni del caso, dato che ho già perso buoni 5 minuti a scrivere il rimprovero.

Sappiamo che l'equazione generale della parabola è caratterizzata da 3 parametri: $ a,b,c $:

$ y(x)=ax^2+bx+c $

Studiamo le tre condizioni che ci vengono date.

1) Asse parallelo all'asse y: questo indica che l'equazione dell'asse è del tipo $ x=h $ (retta verticale), con $ h=x_V $ , quindi si ha $ x=x_V=\frac{1}{3} $ ; ma sappiamo che, per definizione di parabola, l'ascissa del vertice nel caso di asse verticale si calcola come: $ x_V=-\frac{b}{2a} $, da cui possiamo ottenere la prima equazione del sistema che imposteremo: $ \frac{1}{3}=-\frac{b}{2a}\rightarrow b=-\frac{2}{3}a $ (dato che a deve essere non nullo, altrimenti non si avrebbe una parabola, ma una retta)

2) $ y_V=-\frac{1}{16} $: Sappiamo che, per definizione di parabola con asse verticale, si ha $ y_V=-\frac{b^2-4ac}{4a} $, quindi nel nostro caso: $ \frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{1}{16}\rightarrow  b^2-4ac=\frac{1}{4}a \rightarrow b^2-(4c+\frac{1}{4})a=0 $

3) Passaggio per $ P(0,-5) $: sostituiamo nell'equazione generale della parabola, ottenendo $ c=-5 $.

Scriviamo il sistema:

$ \begin{cases}b^2-(4c+\frac{1}{4})a=0\\b=-\frac{2}{3}a\\c=-5\end{cases} $    

Sostituendo la III e la II nella I: $ \frac{4}{9}a^2-(4(-5)+\frac{1}{4})a=0 \rightarrow a=-\frac{79\dot 9}{4\dot 4} \rightarrow a=-\frac{711}{16} $

Quindi, sostituendo nella II: $ b=\frac{237}{8} $ .

Infine, l'equazione completa della parabola è: $ y(x)=-\frac{711}{16}x^2+\frac{237}{8}x-5 $ .

Buona giornata.

@giadacavallari

Ciao e benvenuta.

Equazione della parabola :

y = a·x^2 + b·x + c

Il termine noto è c=-5 infatti per x=0: y=-5

Q(0,-5)

Se V(1/3, -1/16) vuol dire che il suo asse ha equazione x=-b/(2a)------> -b/(2a)=1/3

Quindi sapendo che la parabola ha equazione:

y = a·x^2 + b·x - 5

dovrai scrivere:

{- b/(2·a) = 1/3

{- 1/16 = a·(1/3)^2 + b·(1/3)  -5 cioè passaggio per V della parabola

Risolvo con sostituzione: b = - 2·a/3

- 1/16 = a·(1/3)^2 + (- 2·a/3)·(1/3) -5  -------> a = - 711/16

quindi: b = - 2·(- 711/16)/3------> b = 237/8

 y = - 711·x^2/16 + 237·x/8 - 5

Dopo aver clickato una doverosa freccia in su @Gabriele22 per le sue sacrosante osservazioni preliminari, ti faccio notare che le due prime condizioni comportano già la maggior parte (salvo l'apertura) dell'equazione richiesta
* y = a*(x - 1/3)^2 - 1/16
e che l'apertura si ricava dalla terza condizione
* - 5 = a*(0 - 1/3)^2 - 1/16 ≡ a = - 711/16
da cui l'equazione richiesta
* y = - (711/16)*(x - 1/3)^2 - 1/16
ovvero, in forma normale canonica,
* 711*x^2 - 474*x + 16*y + 80 = 0