Problemi funzioni

Valore di k

f(x) = 1/k·x·(- 1/k·x + 2·k)

f(x) = 2·x - x^2/k^2

f'(x)=2 - 2·x/k^2

f'(x)=0 : f(x) =4

2·(k^2 - x)/k^2 = 0---> x = k^2

f(x=k^2) = 2·k^2 - (k^2)^2/k^2

f(x=k^2) = k^2

k^2=4----> k = -2 ∨ k = 2

Quindi f(x) = 2·x - x^2/4 per x ≥ 0

Definizione della funzione a tratti h(x)

h(x)=

{g(x) per x<0

{2·x - x^2/4 per x ≥ 0

Determino g(x) applicando alla funzione trovata 

y = 2·x - x^2/4

le sostituzioni:

x → -x

y → -y

-y = 2·(-x) - (-x)^2/4

y = x^2/4 + 2·x

Quindi 

g(x)=x^2/4 + 2·x simmetrica della f(x) rispetto all'origine

espressione valida per x<0

Quindi la funzione a cui fare riferimento è:

h(x)=

{x^2/4 + 2·x   per x<0

{2·x - x^2/4    per x ≥ 0

La funzione ottenuta è data graficamente da:

Definizione della funzione a tratti h^(-1)

A tal fine bisogna restringere il dominio fra i due valori di x corrispondenti alle coordinate dei due punti [-4,-4] e [4,4] quindi due tratti corrispondenti compresi fra :

-4 ≤ x ≤ 4

Quindi partiamo dalla nuova funzione definita a tratti:

h(x)=

{x^2/4 + 2·x   per -4 ≤ x < 0

{2·x - x^2/4    per 0 ≤ x ≤ 4

per la quale, per ognuna di tali componenti è ora possibile trovare la funzione inversa.

y = x^2/4 + 2·x

la risolviamo rispetto ad x:

x = 2·√(y + 4) - 4 ∨ x = - 2·√(y + 4) - 4

ed applichiamo le sostituzioni:

x → y

y → x

y = 2·√(x + 4) - 4 ∨ y = - 2·√(x + 4) - 4

Quindi la prima componente è:

2·√(x + 4) - 4  per -4 ≤ x < 0

Nello stesso modo procediamo con la seconda componente:

y = 2·x - x^2/4

risolvo: x = 4 - 2·√(4 - y) ∨ x = 2·√(4 - y) + 4 opero le sostituzioni:

x → y

y → x

y = 4 - 2·√(4 - x) ∨ y = 2·√(4 - x) + 4

la seconda componente è:

4 - 2·√(4 - x) per 0 ≤ x ≤ 4

Quindi:

h^(-1)=

{2·√(x + 4) - 4  per -4 ≤ x < 0

{4 - 2·√(4 - x) per 0 ≤ x ≤ 4