[Risolto] Trovare massimi e minimi della funzione con il metodo di Lagrange

Ciao,

Sia $f(x,y)=x+y$

Chiamiamo il vincolo $g(x,y)=xy-1=0$

Il gradiente di $g$ è $\nabla g(x,y)=(g_{x},g_{y})=(y,x)$ che si annulla in  (0,0) quesro punto è da scartare perché non rispetta il vincolo 

Scriviamo la Lagrangia della funzione:

$L(x,y,\lambda)= f(x,y)-\lambda g(x,y)$

$L(x,y,\lambda)= x+y-\lambda(xy-1)$

Calcoliamo le derivate parziali della lagrangiana:

$L_{x}=1-\lambda y$

$L_{y}=1-\lambda x$

$L_{\lambda}=1-xy$

Imponiamo che siano uguali a zero

$1-\lambda y=0$

$1-\lambda x=0$

$1-xy=0$

Da cui moltiplicando le prime due tra loro otteniamo:

$\lambda^2 xy=1$

Sostituendo nell'ultima:

Otteniamo: $\lambda=\pm1$

Per la $\lambda=1$

$x=1$  e $y=1$

Per la $\lambda=-1$

Otteniamo 

$x=-1$ e $y=-1$

Abbiamo quindi due punti stazionari:

$P_{1}=(1,1)$

$P_{2}=(-1,-1)$

Sostituiamo nella funzione.

$f(1,1)=2$

$f(-1,-1)=-2$

Che sono rispettivamente massimo e minimo della funzione.

🙂

L(x,y, λ) = (x + y) + λ·(x·y - 1)

C.N.

{L'x=0

{L'y=0

{L'λ =0

che si traducono in:

{λ·y + 1 = 0

{λ·x + 1 = 0

{x·y - 1 = 0

tale sistema fornisce due punti critici:

[x = 1 ∧ y = 1 ∧ λ = -1, x = -1 ∧ y = -1 ∧ λ = 1]

[1, 1, -1] e [-1, -1, 1]

Per esaminare la natura di essi occorre considerare l'Hessiano orlato H*(x,y,λ)

|0........φ'x.......φ'y|

|φ'x....L''xx.....L''xy|

|φ'y....L''yx.....L''yy|

con φ = xy-1 ( φ =1° membro dell'equazione implicita del vincolo)

valutato nei due punti critici trovati. Quindi:

2·(-1)·1·1=-2<0  punto di massimo assoluto vincolato 

f(1,1)=2

l'altro:

2·1·(-1)·(-1)= 2 >0 punto di minimo assoluto vincolato

f(-1,-1)=-2