Problema geometria analitica

Ti dico la prima parte.

Mettendo a sistema le due rette assegnate trovi un vertice

3*(-2) - 4y + 12 = 0

6 - 4y = 0 =>  y = 3/2

 

A = (-2;3/2)

Il raggio della circonferenza inscritta misura 13/4

per cui detto K il centro risulta xK = -2 + 13/4 = 5/4

essendo il lato su x = -2 tangente.

Imponendo che anche l'altro lato sia tangente,

|3*5/4 - 4yK + 12|/rad(9+16) = 13/4

|15 + 48 - 16 yK| = 65

63 - 16yK = +-25

16 yK = 63+-65

yK = 128/16 = 8

avendo scelto l'ordinata positiva come indicato.

Il vertice C é il simmetrico di A rispetto a K

e risulta quindi

xC = 2*5/4 + 2 = 9/2

yC = 2*8 - 3/2 = 29/2

 

Possiamo calcolare la diagonale AC come distanza fra due punti.

 

AC^2 = (13/2)^2 + 13^2 = 13^2 * (1/4 + 1)

AC = 13/2 rad(5).

L'equazione dell'altra diagonale, BD, si ottiene cercando la

perpendicolare ad AC passante per K. E questo permette,

attraverso i sistemi con le rette nella traccia, di localizzare

B e D.

La seconda parte la scrivo più tardi, se mi riesce.

 

Aggiornamento - seconda parte

Come esplicitato in precedenza

mAC = (29/2 - 3/2)/(9/2 + 2) = 26/2 : 13/2 = 2

mBD = -1/mAC = -1/2

y - 8 = -1/2 (x - 5/4)

y = - 1/2 x + 8 + 5/8

y = -1/2 x + 69/8

questa é l'equazione esplicita di BD.

Ponendo in essa x = xB = -2,

yB = 1 + 69/8 = 77/8

B = (-2; 77/8)

e sempre per simmetria rispetto a K

D = ( 2*5/4 + 2; 16 - 77/8 ) = (9/2; 51/8)

Possiamo ora determinare

BD = rad [ (13/2)^2 + (26/8)^2 ] = rad (169/4 + 169/16) =

= rad (169/16) * rad(1+4) = 13/4 rad 5

l'area é S = AC*BD/2 = 1/2 * 13/2 rad(5) * 13/4 rad(5) =

= (13/4)^2 * 5 = 169*5/16 = 845/16

e infine, da r = 2S/P segue

P = 2S/r = 845/8 : 13/4 = 169*5/8 * 4/13 = 13*5/2 = 65/2.

Il vertice V1 è l'intersezione delle rette date
* (t1 ≡ x + 2 = 0) & (t2 ≡ 3*x - 4*y + 12 = 0) ≡
≡ (x = - 2) & (y = 3*(x + 4)/4) ≡ V1(- 2, 3/2)
il vertice opposto V3 è il simmetrico rispetto all'incentro e gli altri due si determinano tirando da V3 le parallele alle rette (t1, t2) e intersecandole con esse.
L'incentro I(a, b) è, fra i quattro punti del piano distanti l'inraggio dato (r = 13/4) dalle rette (t1, t2), quello con coordinate entrambe positive.
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A) Incentro
Per l'equidistanza
* distanza |Ir| = |a + 2| = √((a + 2)^2)
* distanza |Is| = |3*a - 4*b + 12|/5 = √((3*a - 4*b + 12)^2)/5
entrambe devono eguagliare l'inraggio dato
* |Ir| = |Is| ≡ √((a + 2)^2) = √((3*a - 4*b + 12)^2)/5 = 13/4 ≡
≡ (a, b) in {(- 21/4, - 5), (- 21/4, 25/8), (5/4, - 1/8), (5/4, 8)}
Per "coordinate entrambe positive"
* I(5/4, 8)
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B) Vertice V3
* diagonale V1V3: d ≡ y = 2*x + 11/2
* distanza IV1: 13*√5/4
* Γ ≡ (x - 5/4)^2 + (y - 8)^2 = (13*√5/4)^2
* d & Γ ≡ (y = 2*x + 11/2) & ((x - 5/4)^2 + (y - 8)^2 = (13*√5/4)^2) ≡
≡ V1(- 2, 3/2) oppure V3(9/2, 29/2)
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C) Rette per V3(9/2, 29/2)
* (x = 9/2) oppure (t(m) ≡ y = 29/2 + m*(x - 9/2))
da cui quelle parallele alle (t1 ≡ x = - 2) & (t2 ≡ y = 3*(x + 4)/4)
* (t3 ≡ x = 9/2) & (t4 ≡ t(3/4) ≡ y = (6*x + 89)/8)
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D) Altri vertici
* t2 & t3 ≡ (y = 3*(x + 4)/4) & (x = 9/2) ≡ V2(9/2, 51/8)
* t4 & t1 ≡ (y = (6*x + 89)/8) & (x = - 2) ≡ V4(- 2, 77/8)
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RISPOSTE AI QUESITI
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1) "Determina i vertici del rombo"
* V in {(- 2, 3/2), (9/2, 51/8), (9/2, 29/2), (- 2, 77/8)}
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2) "Determina il perimetro del rombo"
* L = |(9/2, 51/8) - (9/2, 29/2)| = |51/8 - 29/2| = 65/8
* p = 4*L = 65/2
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3) "Determina l’area del rombo"
* h = |- 2 - 9/2| = 13/2
* S = L*h = (65/8)*13/2 = 845/16
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Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=polygon%28-2%2C3%2F2%29%289%2F2%2C51%2F8%29%289%2F2%2C29%2F2%29%28-+2%2C77%2F8%29