Iperbole traslata

Problema:

Determina l'equazione dell'iperbole equilatera traslata avente asintoti di equazione $x=3$ e $y=-2$, e passante per il punto $(1, \frac{1}{2})$. Disegnarne il grafico.

Soluzione:

L'iperbole equilatera centrata in $O(0,0)$  ha equazione $xy=k$, ove $k$ è una costante. Dato che ne viene richiesta una traslata,  è necessario traslare il suo centro dato che esso si trascina dietro tutti gli altri punti. In questo caso esso è determinato univocamente dall'intersezione delle equazioni degli asintoti ed è $O'(3,-2)$.

Si ha dunque che l'iperbole traslata di un vettore $O'$ è la seguente:

$(x-3)(y+2)=k$.

Imponendo il passaggio per il punto $(1, \frac{1}{2})$ si determina $k$:

$(1-3)(\frac{1}{2}+2)=-2(\frac{5}{2})=-5=k$.

L'equazione richiesta è dunque $(x-3)(y+2)=-5$.

Il seguente grafico è stato realizzato tramite l'elaboratore grafico Desmos.

Asintoti iperbole.

x = 3 verticale

y = -2 orizzontale

passa per [1, 1/2]

y = (a·x + b)/(c·x + d)

Deve essere:

{1/2 = (a·1 + b)/(c·1 + d)---> 1/2 = (a + b)/(c + d)

{a/c = -2

{3·c + d = 0

Risolvo il sistema in a, b e c:

[a = 2·d/3 ∧ b = - d/3 ∧ c = - d/3 ∧ c ≠ -d ∧ c ≠ 0]

y = (2·d·x/3 - d/3)/(d - d·x/3)

y = (2·d·x/3 - d/3)·(3/d)/((d - d·x/3)·(3/d))

y = (2·x - 1)/(3 - x)