[Risolto] Equazioni con i numeri complessi

posto z = rho *e^(i*theta) {notazione esponenziale }

 27*rho *e^(i*theta)  = i*(rho^3)*(rho*e^(-i*theta) )

dividendo per rho = |z| ---> {questo implica rho= |z| diverso da zero ---> prima soluz. z=0   !}

 27*e^(i*theta)  = i*(rho^3)*(e^(-i*theta) ) =e^(i*pi/2)*(rho^3)*(e^(-i*theta) ) = (rho^3)*(e^(i(pi/2-theta)))  

ovvero , per confronto tra primo e secondo membro:

 27  = rho^3     --->   rho =27^(1/3) = 3

e^(i*theta) = (e^(i(pi/2-theta))  ---> theta = pi/2 -theta  ---> 2theta = pi/2 + k*2pi --->{se 2theta vale pi/2  vale anche pi/2 + 2k*pi}

theta = pi/4+k*pi

con k intero relativo. 

si hanno così le altre due soluzioni.

zk = 3e^(i*pi/4 + k*pi)   ... che per k = 0,-1 fornisce le determinazioni principali.

Una soluzione é z = 0.

Per le altre ti conviene passare a modulo e fase

27 |z| e^(j t) = e^(j TT/2) |z|^3 * |z| e^(- j t)

da qui |z|^3 = 27

e t = TT/2 - t + 2 k TT

t = TT/4 + k TT

Capito perché li chiamano complessi ? Se fosse facile venirne a capo che "complessi" sarebbero mai?😉

* 27*z = i*(z^3)*z' ≡
≡ (z = 0) oppure ((z^3)*z'/z = 27/i = - i*27) & (z != 0)
Il secondo membro immaginario vuol dire che il primo membro deve avere parte reale nulla e parte immaginaria eguale a meno ventisette.
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* ((z^3)*z'/z = 27/i = - i*27) & (z != 0) ≡
≡ (Re[(z^3)*z'/z] = 0) & (Im[(z^3)*z'/z] = - 27)
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* (z^3)*z'/z =
= (x - i*y)*(x + i*y)^3/(x + i*y) =
= x^3 + x*y^2 + i*(y^3 + y*x^2)
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* (Re[(z^3)*z'/z] = 0) & (Im[(z^3)*z'/z] = - 27) ≡
≡ (x^3 + x*y^2 = 0) & (y^3 + y*x^2 = - 27) ≡
≡ (x = 0) & (y = - 3) ≡
≡ z = - i*3
da cui
* z' = i*3; z^3 = i*27; (z^3)*z'/z = (i*27)*i*3/(- i*3) = - i*27