[Risolto] buongiorno perfavore petete aiutarmi con questo problema grz

Ciao Andrea, buona domenica!

Per risolvere il tuo problema bastano due semplici passaggi: 

1) Disegnare la situazione fisica e scegliere un opportuno sdr
2) Scrivere la legge oraria del moto

Il disegno lo farei così:

 Ti spiego velocemente i passaggi: sapendo che bersaglio e arciere non sono posti sulla linea del terreno, ho disegnato inizialmente un sdr coerente con la situazione reale, in cui l'asse x' coincide con la linea di terra. Poi, notando che non ho informazioni sull'altezza a cui si trovano centro del bersaglio e punto da cui viene scoccata la freccia, assumo che:

a) i due punti siano allineati

b) il bersaglio venga colpito nel centro

Definisco quindi l'asse x come la congiungente di questi due punti, e ragiono ora nel sdr xOy.

Ora bisogna passare al secondo punto, ovvero la scrittura delle leggi orarie.

Studiamo dapprima il moto della freccia. 

NOTA: Non ci vengono date informazioni su un eventuale ritardo tra inizio del moto del bersaglio e della freccia, per cui consideriamo che i due partano allo stesso istante $ t_0 $ .

Sappiamo che la freccia verrà scoccata in seguito alla reazione dell'arco. Quindi la tensione della corda imprimerà una forza impulsiva sulla freccia, che inizierà a viaggiare compiendo un moto parabolico. Ciò è dovuto al fatto che:

1) la velocità iniziale è inclinata rispetto all'orizzontale, quindi ci saranno due componenti di velocità iniziale dirette nel senso degli assi cartesiani. 

2) la freccia è soggetta all'azione del campo gravitazionale terrestre, che si traduce nel considerare l'accelerazione di gravità.

Il moto parabolico è un moto piano che si può studiare in due modi: scrivendo la funzione della traiettoria parabolica $ y(x) $ e risolvendo il problema dal punto di vista matematico con l'analisi funzionale; oppure scomponendo il moto in due moti distinti, uno lungo l'asse x ( $ x(t) $ ) e l'altro lungo l'asse y( $ y(t) $ ). Guardando i dati e le incognite, opteremo per la seconda scelta. 

Dato che lungo l'asse y agisce la forza di gravità, possiamo affermare che il moto lungo la direzione verticale è uniformemente accelerato (in quanto non agiscono altre forze oltre a quella gravitazionale, che è costante in modulo, direzione e verso, quindi l'accelerazione è costante).

Lungo l'asse x, invece, non ci sono accelerazioni, quindi la velocità è costante e il moto rettilineo uniforme.

Scriviamo allora: $ \begin{cases}y(t)=\frac{1}{2}at^2+v_{0,y}t+y_0\\x_{freccia}(t)=v_{0,x}t+x_{0,freccia}\end{cases} $ 

Ora, al posto delle incognite sostituiamo i dati che abbiamo (ricordiamo che g è diretta verso il basso, quindi avrà un segno - davanti; $ y_0=x_0=0 $ per la scelta del sdr fatta; $ v_{0,x} $ e $ v_{0,y} $ si calcolano da $ v_0 $ con le leggi della trigonometria): 

$ \begin{cases}y(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin(\alpha)t\\x_{freccia}(t)=v_0\cos(\alpha)t\end{cases} $ 

Passiamo ora al moto del bersaglio: questo è 1D, in quanto avviene solo lungo l'asse x. Il testo ci fornisce i dati, e ci specifica che l'accelerazione è costante, quindi anche in questo caso avremo un moto uniformemente accelerato.

 $ x_{bersaglio}(t)=\frac{1}{2}at^2+v_{0,bersaglio}t+x_{0,bersaglio} $ 

Ma dato che la velocità iniziale del bersaglio è nulla, riscriviamo semplicemente:

 $ x_{bersaglio}(t)=\frac{1}{2}at^2+x_{0,bersaglio} $ 

Notiamo che i dati ci permettono di calcolare lo spazio percorso dal bersaglio prima di essere colpito, in quanto ci viene fornito il tempo dopo cui ciò avviene.

Calcoliamo allora la posizione finale del bersaglio:

$ x_{bersaglio}=x_{bersaglio}(t*)=\frac{1}{2}at^{*2}+x_{0,bersaglio} $ 

Questa, però, sarà anche la posizione finale della freccia, per l'assunzione fatta precedentemente (nella NOTA).

Ma, se la posizione del bersaglio è sull'asse x, anche la freccia (come da disegno) terminerà il suo moto in un punto sull'asse x. Quindi scriviamo:

$ \begin{cases}y(t*)=0\\x_{freccia}(t*)=x_{bersaglio}=x_{bersaglio}(t*)=\frac{1}{2}at^{*2}+x_{0,bersaglio}\end{cases} $ 

Quindi

$ \begin{cases}0=-\frac{1}{2}gt^{*2}+v_0\sin(\alpha)t^*\\\frac{1}{2}at^{*2}+x_{0,bersaglio}=v_0\cos(\alpha)t^*\end{cases} $ 

Ricavo $ v_0 $ dalla II equazione:

$ v_0=\frac{\frac{1}{2}at^{*2}+x_{0,bersaglio}}{\cos(\alpha)t^*} $ 

Sostituisco nella I:

$ -\frac{1}{2}gt^{*2}+\frac{\frac{1}{2}at^{*2}+x_{0,bersaglio}}{\cos(\alpha)t^*}\sin(\alpha)t^*=0 $

Da cui, scrivendo $ \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\tan(\alpha) $ :

$ -\frac{1}{2}gt^{*2}+(\frac{1}{2}at^{*2}+x_{0,bersaglio})\tan(\alpha)=0 $

si ricava $ \alpha $:

$ \alpha=\arctan\Bigg(\frac{\frac{1}{2}gt^{*2}}{\frac{1}{2}at^{*2}+x_{0,bersaglio}}\Bigg) $  

Sostituendo ora nell'espressione di $ v_0 $ :

$ v_0=\frac{\frac{1}{2}at^{*2}+x_{0,bersaglio}}{\cos\Bigg(\arctan\Bigg(\frac{\frac{1}{2}gt^{*2}}{\frac{1}{2}at^{*2}+x_{0,bersaglio}}\Bigg)\Bigg)t^*} $

Eseguiamo ora l'analisi dimensionale, per verificare la correttezza dimensionale delle nostre espressioni:

$ °=\arctan\Bigg(\frac{\frac{m}{s^2}s^2}{\frac{m}{s^2}s^2+m}\Bigg)=\arctan\Bigg(\frac{m}{m}\Bigg) $

che è giusto, in quanto l'argomento dell'arcotangente deve essere una grandezza adimensionale, e la funzione arcotangente restituisce un risultato in gradi.

Dunque, dimensionalmente, la formula per l'angolo è corretta.

Verifichiamo ora quella della velocità, ignorando le grandezze già esaminate (quindi non considero il coseno. Infatti, il suo argomento è in ° (già dimostrato) e la funzione coseno restituisce una grandezza adimensionale):

$ v_0=\frac{\frac{m}{s^2}s^2+m}{s}=\frac{m}{s} $ 

quindi è giusta dimensionalmente anche l'espressione della velocità.

Eseguiamo quindi i calcoli con i dati noti e concludiamo l'esercizio, ottenendo:

$ \alpha=67.97° $ e $ v_0= 47.62 \frac{m}{s}$ .

Spero di esser stato chiaro, buona giornata.

d = 100+a/2*9^2 = 160,75 m 

{160,75 = V^2/g *2 *sin Θo* cos Θo

{160,75 = V*cos Θo*9

il loro rapporto conduce a :

1 = V/9,806*2*sen Θo/9

88,254/2 = 44,127 = V*sin Θo

160,75/9 = V*cos Θo

44,127*9/160,75 = 2,4706  = tan Θo

Θo = 67,96°

V = 44,127/sen 67,96° = 47,60 m/sec 

Legge del moto del bersaglio per lo spazio S percorso:

S bersaglio = 1/2 a t^2 + So;

So = 100 m; t = 9,00 s; (tempo di volo della freccia).

Legge del moto della freccia in orizzontale:

S freccia = (vx) * t; la velocità orizzontale vx della freccia è costante.

S bersaglio = 1/2 * 1,5 * 9,00^2 + 100 = 160,75 m; (posizione del bersaglio quando viene colpito dalla freccia).

S freccia = vx * t;  la freccia percorre la stessa distanza del bersaglio: S = 160,75 m;

vx = S freccia / t;

vx = 160,75 / 9,00 = 17,86 m/s; velocità orizzontale della freccia.

In verticale la freccia parte con velocità voy che diminuisce fino a diventare 0 m/s nel punto più alto della traiettoria parabolica.

g = - 9,8 m/s^2;

tempo di salita = t volo / 2 = 9,00 / 2 = 4,5 s; 

nel tempo di salita arriva nel punto più alto; vy = 0.

vy = g * t + voy

vy = - 9,8 * t + voy;

voy - 9,8 * (t salita) = 0;

voy =  9,8 * 4,5 = 44,1 m/s;

Tangente dell'angolo di lancio:

tan(alfa) = voy / vx = 44,1 / 17,86 = 2,469;

alfa = arctan(2,469) = 68° (circa); (angolo di lancio).

@andrea345  ciao.

@andrea345

Ciao e benvenuto. Leggi per bene il REGOLAMENTO. Palesa i tuoi dubbi e scrivi qualcosa al riguardo. La foto è un optional e deve essere leggibile e dritta.

Bersaglio mobile. Legge oraria (moto rettilineo uniformemente accelerato)

s = 100 + 1/2·1.5·t^2

per t=9.00 s   si ha  : s = 100 + 1/2·1.5·9^2-------- s = 160.75 m

Legge oraria della freccia. Si considera un sistema di riferimento spaziale con origine nel punto di scocco della freccia. La traiettoria della freccia è parabolica ed è data dalla combinazione di 2 moti:

{x=Vox*t = moto uniforme

{y=Voy*t-1/2*g*t^2

Per t=9.00 s si ha:

{x=s=160.75=Vox*9------------> Vox=160.75/9 = 643/36 m/s

{y=0=Voy*9-1/2*9.806*9^2----------> Voy=1/2·9.806·9^2/9 = 44.127 m/s

Quindi:

Vo= √((643/36)^2 + 44.127^2) = 47.605 m/s

La freccia è scoccata sopra un angolo con l'orizzontale tale per cui:

TAN(α) = 44.127/(643/36)

TAN(α) = 2.470562986--------> α = ATAN(2.470562986) = 1.186188057 in radianti

con riferimento ad angoli sessadecimali:

1.186188057/pi = α/180-------> α = 67.964°