parabola esercizio

$ y = \frac{2}{3}(x-1)(x-3) $

Disegniamo la situazione. (Le coordinate del punto P sono presi a caso, visto che sono da calcolare)

https://www.desmos.com/calculator/qnp20lg44c

• Le coordinate del generico punto P(x, (2/3)(x-1)(x-3)) 
• Lunghezza del segmento AC. $ L_{AC} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} $
• retta r: passante per AC.  2x + 3y - 6 = 0 
• Altezza h= distanza del punto P dalla retta r:   $h = \frac{|2x+3(\frac{2}{3})(x-1)(x-3)-6|}{2}$ 

$ h = \frac{|x||-6+2x|}{\sqrt{13}} $

• Area triangolo $S = \frac{\sqrt{13}|x||2x-6|}{2\sqrt{13}} = 2 $

$ S = |x||x-3| = 2 $ 

Riportiamo sull'asse x i punti dove si annullano i valori assoluti

_______0__________3________

questo significa che dobbiamo considerare 3 casi:

1. Se x < 0 allora entrambi i contenuti dei moduli sono negativi
$ (-x)(-x+3) = 2  \; ⇒ \; x^2-3x-2 = 0 $  Le cui due radici sono:

1. $x_1 = \frac{3-\sqrt{17}}{2}$  a cui corrisponde il punto $P_4$
2. $x_2 = \frac{3+\sqrt{17}}{2}$  da scartare visto che x risulta positivo

2. Se 0 ≤ x ≤ 3 allora solo il primo fattore è positivo

$ x (-x+3) = 2  \; ⇒ \; -x^2+3x-2 = 0 $  Le cui due radici sono:

1. $x_1 = 1$  a cui corrisponde il punto $P_1$
2. $x_2 = 2$  a cui corrisponde il punto $P_2$

3. Se x > 3 allora entrambi i contenuti dei moduli sono positivi
$ x(x-3) = 2  \; ⇒ \; x^2-3x-2 = 0 $  Le cui due radici sono:

1. $x_1 = \frac{3-\sqrt{17}}{2}$   da scartare visto che x risulta negativo
2. $x_2 = \frac{3+\sqrt{17}}{2}$  a cui corrisponde il punto $P_3$