Verifica che l'equazione
x^2+y^2+(3k-2)x+(4k+2)y-24(k+2)=0
rappresenta una circonferenza per ogni valore reale di k. Trova, inoltre, la circonferenza di raggio minimo del fascio.
Verifica che l'equazione
x^2+y^2+(3k-2)x+(4k+2)y-24(k+2)=0
rappresenta una circonferenza per ogni valore reale di k. Trova, inoltre, la circonferenza di raggio minimo del fascio.
13
punti
Livello 0
GIA' FATTO!
Dalla data forma normale canonica del fascio Γ(k) per completamento dei quadrati si ricava la forma normale standard dalla quale si leggono le coordinate del centro e il quadrato del raggio che, se si può minimizzare, ottempera alla seconda consegna.
Per la prima occorre che tutt'e tre le espressioni risultino reali per ogni k reale e inoltre, per il quadrato del raggio, occorre anche che non sia negativo (se è zero si tratta di circonferenza reale sì, ma degenere sul suo centro).
Con
* x^2 + (3*k - 2)*x = (x + (3*k - 2)/2)^2 - ((3*k - 2)/2)^2
* y^2 + (4*k + 2)*y = (y + (4*k + 2)/2)^2 - ((4*k + 2)/2)^2
si ha
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + (3*k - 2)*x + (4*k + 2)*y - 24*(k + 2) = 0 ≡
≡ (x + (3*k - 2)/2)^2 - ((3*k - 2)/2)^2 + (y + (4*k + 2)/2)^2 - ((4*k + 2)/2)^2 - 24*(k + 2) = 0 ≡
≡ (x + (3*k - 2)/2)^2 + (y + (4*k + 2)/2)^2 = (25/4)*(k^2 + 4*k + 8)
Da cui si leggono
* centro C(1 - (3/2)*k, - (2*k + 1)), reale per ogni k reale
* raggio r(k) = (25/4)*(k^2 + 4*k + 8) >= r(- 2) = 25
QED
------------------------------
NB
Il completamento del quadrato è l'identità
* u^2 + 2*c*u = (u + c)^2 - c^2
51275
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Genius I
75827
punti
Genius II
