[Risolto] circonferenza

@penh

Il fascio rappresenta una circonferenza per qualunque valore di k dal momento che i coefficienti di x², y² sono uguali e concordi, indipendentemente da k ed il raggio R risulta essere maggiore di zero per qualunque valore di k.

Infatti:

 

R= radice [(3k-2)²/4 + (4k+2)²/4 + 24*(k+2)] 

R= radice [(1/4)*(25k²+4k+8+96k+192)] 

R= radice [(25/4)*(k²+4k+8)] 

R= (5/2)*radice [k²+4k+8]

 

Il radicando risulta essere positivo per qualunque valore di k (D<0), assume valore minimo nel vertice della parabola per k= - 2 con yV=4

 

Il raggio minimo è quindi R=(5/2)*2 = 5 quando k= - 2

 

 

Sostituendo il valore k= - 2 nel fascio determino l'equazione della circonferenza avente raggio minimo:

x²+y²-8x-6y=0

 

Basta imporre che la distanza di un punto della retta r (dove è contenuto il centro) e la retta s sia minore di RAD(10)

Questo perchè la congiungente il centro di una circonferenza con il punto di tangenza di una retta, è perpendicolare a tale retta tangente.

Un punto sulla retta s ha coordinate C(x, x+2)

si applica la distanza punto-retta con y = 3x-2 e si impone che questa sia minore di RAD(10)

Attenzione al valore assoluto e di porre l'equazione della retta in forma implicita.

E TRE

Esercizio #1
Tutti e soli i punti C(k, k + 2) appartengono, per definizione, alla retta
* r ≡ y = x + 2
e distano r(k), il raggio delle circonferenze descritte, dalla retta
* s ≡ y = 3*x - 2
con
* r(k) = |(3*k - 2 - (k + 2))|/√(3^2 + 1) = (2/√10)*|(k - 2)|
che risulta minore di √10 nell'insieme soluzione della disequazione
* r(k) = (2/√10)*|(k - 2)| < √10 ≡
≡ |(k - 2)| < 5 ≡
≡ (- 5 < k - 2 < 5) ≡
≡ (2 - 5 < k < 2 + 5) ≡
≡ - 3 < k < 7
QED
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Esercizio #2
Dalla data forma normale canonica del fascio Γ(k) per completamento dei quadrati se ne ricava la forma normale standard dalla quale si leggono le coordinate del centro e il quadrato del raggio che, se si può minimizzare, ottempera alla seconda consegna.
Per la prima occorre che tutt'e tre le espressioni risultino reali per ogni k reale e inoltre, per il quadrato del raggio, occorre anche che non sia negativo (se è zero si tratta di circonferenza reale sì, ma degenere sul suo centro).
Con
* x^2 + (3*k - 2)*x = (x + (3*k - 2)/2)^2 - ((3*k - 2)/2)^2
* y^2 + (4*k + 2)*y = (y + (4*k + 2)/2)^2 - ((4*k + 2)/2)^2
si ha
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + (3*k - 2)*x + (4*k + 2)*y - 24*(k + 2) = 0 ≡
≡ (x + (3*k - 2)/2)^2 - ((3*k - 2)/2)^2 + (y + (4*k + 2)/2)^2 - ((4*k + 2)/2)^2 - 24*(k + 2) = 0 ≡
≡ (x + (3*k - 2)/2)^2 + (y + (4*k + 2)/2)^2 = (25/4)*(k^2 + 4*k + 8)
Da cui si leggono
* centro C(1 - (3/2)*k, - (2*k + 1)), reale per ogni k reale
* raggio r(k) = (25/4)*(k^2 + 4*k + 8) >= r(- 2) = 25
QED
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DETTAGLI
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La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
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Eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
1) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
2) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
3) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
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Il completamento del quadrato è l'identità
* u^2 + 2*c*u = (u + c)^2 - c^2