Dominio e segno di irrazionali

Negli esercizi 6 e 7 devi fare diciamo un doppio lavoro:

In presenza di un valore assoluto come in questo caso devi scrivere due funzioni

la prima togliendo il valore assoluto e lasciando i segni delle x come sono.

il dominio che troverai dovrà essere valutato solo con un valore di x positivo, cioè solo a destra dell'asse y.

La seconda funzione sarà come la prima, con la differenza che devi cambiare ad ogni x il segno valutando il dominio a sinistra dell'asse y.

Caro mio quasi paesano SalvoNardyn, prima di entrare nel merito delle tue quattro funzioni (irrazionali con radicali d'indice pari e uno, sperduto, con indice dispari) ti rivolgo due critiche: una assai importante per il tuo "tour de force per recuperare nozioni perse da tempo", sul tuo metodo di recupero; l'altra è solo una mia pignoleria sulla nomenclatura, ma in matematica la forma è sostanza e spostare una virgola può stravolgere i significati molto più profondamente che nel linguaggio naturale ("ibis, redibis non, morieris in bello" oppure "ibis, redibis, non morieris in bello" riguardava la vita di un solo milite, ma se nel valore di una sola costante fondamentale il Padreterno avesse spostato la virgola di un solo posto quest'Universo non esisterebbe!).
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Prima critica
"comunque non uso nessun software, per ora preferisco puntare su me stesso" è UN MARCHIANO ERRORE DI METODO; si studia tanto meglio e con tanto miglior profitto per quanti più sostegni si hanno sulle tre capacità cognitive di basso livello (imparare, comprendere ciò che s'è imparato, saper risolvere problemi applicandolo).
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Seconda critica
MAI USARE ESPRESSIONI DI CUI NON SI CONOSCA IL SIGNIFICATO ESATTO (la forma è sostanza!).
"non mi è del tutto chiaro come calcolare il campo di esistenza" è una preoccupazione superflua perché di solito "il campo di esistenza" NON ESISTE; e, nei soli tre casi in cui esiste, non è interessante: dire che "la funzione è definita sull'intero insieme dei {complessi | reali | razionali}" di solito provoca il pensiero «E capirai che scoperta, già si vedeva!».
Se non è uno di quei tre casi la funzione NON E' DEFINITA SU UN CAMPO perché «In matematica, un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto e da due operazioni binarie interne (chiamate somma e prodotto e indicate di solito rispettivamente con "+" e "∗") che godono di proprietà assimilabili a quelle verificate da somma e prodotto sui numeri razionali o reali o anche complessi.»
Un campo numerico è un insieme numerico non vuoto che sia chiuso rispetto alle quattro operazioni razionali, esclusa la divisione per zero, e in cui il prodotto sia distributivo sulla somma.
Nel caso di "f(x) = qualcosa/x" o di "g(x) = qualcosa*√x" l'insieme di definizione non è chiuso rispetto alla sottrazione (a - a = 0 ammazza f(x); a - 2*a = - a ammazza g(x)).
E una funzione che esiste su un insieme che non è campo non può possedere un campo di esistenza.
La fin troppo diffusa sigla "CE" non va letta come "campo d'esistenza", ma come "condizione d'esistenza"; meglio sarebbe stato usare "ID" e "IDR" come "insieme di definizione" e "insieme di definizione reale". Per non parlare di "dominio" che quasi tutti intendono ormai all'americana come IDR, mentre nei testi europei è (da un paio di secoli) semplicemente il prodotto cartesiano degl'insiemi su cui sono definite le variabili, non la funzione! Ci sono forme di colonialismo culturale che risalgono alla Roma classica e anche più in là.
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COME REGOLARSI "IN PRESENZA DI VALORI ASSOLUTI"
Eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
1) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
2) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
3) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
Le dis/equazioni con più valori assoluti si trattano ripetendo il trattamento di un valore assoluto per volta con la sequenza {isolare, sdoppiare}. Occorre riscrivere tutte le espressioni prima isolando un |modulo| in ciascuna, poi eliminandolo, e infine, prima di riciclare, cercando di sostituire tutte quelle ormai prive di |moduli| con la loro implicazione più stretta.
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COME REGOLARSI IN PRESENZA DI ESPRESSIONI CON PIU' RADICALI
Anche per le espressioni con più radicali (subespressioni con esponente frazionario) si applica la sequenza {isolare, sdoppiare}, vedi ai link
http://it.wikipedia.org/wiki/Disequazione
http://it.wikipedia.org/wiki/Disequazione_irrazionale
Con una cautela finale supplementare: se, anche in uno solo degli sdoppiamenti, il radicale eliminato ha indice (denominatore dell'esponente frazionario) pari, allora è possibile che le quadrature introducano soluzioni spurie.
Alla fine dell'elaborazione risolutiva si deve depurare da esse l'insieme delle soluzioni.
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ESERCIZIO #6
La funzione di variabile reale x
* f(x) = y = ((3 + |x|)/(3 - |x|))^(1/6) + √((x + 1)^2/((x - 2)*(x + 5))) ≡
≡ y = ((3 + |x|)/(3 - |x|))^(1/6) + |(x + 1)|/√((x - 2)*(x + 5)))
ha
* dominio: l'intera retta reale (R, su cui varia x)
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss (C, su cui varia y)
NOTA: la presenza di un logaritmo e/o di un radicale con indice pari impone il codominio complesso, anche se poi l'insieme immagine è solo reale e/o immaginario.
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* insieme di definizione ID: nessun denominatore nullo ≡
≡ (3 - |x| != 0) & ((x - 2)*(x + 5) != 0) ≡
≡ (|x| != 3) & (x != 2) & (x != - 5) ≡
≡ (x != - 5) & (x != - 3) & (x != 2) & (x != 3) ≡
≡ x non in {- 5, - 3, 2, 3}
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* insieme di definizione reale IDR: nessun denominatore nullo & nessun radicando negativo ≡
≡ (x non in {- 5, - 3, 2, 3}) & ((3 + |x|)/(3 - |x|) >= 0) & ((x - 2)*(x + 5) >= 0)
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* (x - 2)*(x + 5) >= 0 ≡ (x <= - 5) oppure (x >= 2)
* (x non in {- 5, - 3, 2, 3}) & ((x - 2)*(x + 5) >= 0) ≡
≡ (x non in {- 5, - 3, 2, 3}) & ((x <= - 5) oppure (x >= 2)) ≡
≡ (x < - 5) oppure (x > 2)
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* (3 + |x|)/(3 - |x|) >= 0 ≡
≡ ((3 + |x|)/(3 - |x|) = 0) oppure ((3 + |x|)/(3 - |x|) > 0) ≡
≡ (|x| = - 3) oppure ((3 + |x|)*(3 - |x|) > 0) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (9 - x^2 > 0) ≡
≡ x^2 < 9 ≡
≡ - 3 < x < 3
* (x non in {- 5, - 3, 2, 3}) & (- 3 < x < 3) ≡
≡ - 3 < x < 3
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*IDR: (x non in {- 5, - 3, 2, 3}) & ((3 + |x|)/(3 - |x|) >= 0) & ((x - 2)*(x + 5) >= 0) ≡
≡ ((x < - 5) oppure (x > 2)) & (- 3 < x < 3) ≡
≡ (x < - 5) & (- 3 < x < 3) oppure (x > 2) & (- 3 < x < 3) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (2 < x < 3) ≡
≡ 2 < x < 3
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ESERCIZIO #7
Non ce la faccio più!
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ESERCIZIO iniziale senza numero
Dovresti porre una nuova domanda specificando quali siano "alcuni passaggi del primo esercizio" e quali siano le difficoltà che ti lasciano in dubbio.