[Risolto] mate2

Esercizio #1
Tutti e soli i punti C(k, k + 2) appartengono, per definizione, alla retta
* r ≡ y = x + 2
e distano r(k), il raggio delle circonferenze descritte, dalla retta
* s ≡ y = 3*x - 2
con
* r(k) = |(3*k - 2 - (k + 2))|/√(3^2 + 1) = (2/√10)*|(k - 2)|
che risulta minore di √10 nell'insieme soluzione della disequazione
* r(k) = (2/√10)*|(k - 2)| < √10 ≡
≡ |(k - 2)| < 5 ≡
≡ (- 5 < k - 2 < 5) ≡
≡ (2 - 5 < k < 2 + 5) ≡
≡ - 3 < k < 7
QED
------------------------------
Esercizio #2
Dalla data forma normale canonica del fascio Γ(k) per completamento dei quadrati se ne ricava la forma normale standard dalla quale si leggono le coordinate del centro e il quadrato del raggio che, se si può minimizzare, ottempera alla seconda consegna.
Per la prima occorre che tutt'e tre le espressioni risultino reali per ogni k reale e inoltre, per il quadrato del raggio, occorre anche che non sia negativo (se è zero si tratta di circonferenza reale sì, ma degenere sul suo centro).
Con
* x^2 + (3*k - 2)*x = (x + (3*k - 2)/2)^2 - ((3*k - 2)/2)^2
* y^2 + (4*k + 2)*y = (y + (4*k + 2)/2)^2 - ((4*k + 2)/2)^2
si ha
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 + (3*k - 2)*x + (4*k + 2)*y - 24*(k + 2) = 0 ≡
≡ (x + (3*k - 2)/2)^2 - ((3*k - 2)/2)^2 + (y + (4*k + 2)/2)^2 - ((4*k + 2)/2)^2 - 24*(k + 2) = 0 ≡
≡ (x + (3*k - 2)/2)^2 + (y + (4*k + 2)/2)^2 = (25/4)*(k^2 + 4*k + 8)
Da cui si leggono
* centro C(1 - (3/2)*k, - (2*k + 1)), reale per ogni k reale
* raggio r(k) = (25/4)*(k^2 + 4*k + 8) >= r(- 2) = 25
QED
------------------------------
DETTAGLI
---------------
La distanza del punto P(u, v) dalla retta y = m*x + q è
* d(u, v, m, q) = |(m*u + q - v)|/√(m^2 + 1)
---------------
Eliminare un modulo vuol dire sdoppiare la dis/equazione che lo conteneva in due altre di cui l'originale rappresentava o l'unione o l'intersezione.
1) |a| <= b ≡ (- b <= a <= b) ≡ (- b <= a) & (a <= b) [intersezione]
2) |a| = b ≡ (a = ± b) ≡ (a = - b) || (a = + b) [unione]
3) |a| >= b ≡ (a <= - b) || (b <= a) [unione]
e analoghe per le diseguaglianze strette.
---------------
Il completamento del quadrato è l'identità
* u^2 + 2*c*u = (u + c)^2 - c^2

Un solo esercizio per volta.

Il primo é estremamente semplice, per ora svolgo questo.

Il centro C ha coordinate (u, u+2) 

e per la condizione di tangenza - essendo s) 3x - y - 2 = 0 - deve risultare 

 

| 3u - u - 2 - 2 |/rad(9+1) = r

|2u - 4|/rad(10) = r 

4(u-2)^2/10 < (rad(10))^2

(u - 2)^2 < 10*10/4 = 25

|u - 2| < 5

-5 < u - 2 < 5

-3 < u < 7

 

Per il secondo si tratta di lavorare sull'espressione

r^2 = A^2/4 + B^2/4 - C.

Ne viene

 

r^2 = (3k - 2)^2/4 + (4k+2)^2/4 + 24(k+2)

r^2 = 1/4 * (9k^2 - 12k + 4 + 16k^2 + 16 k + 4 + 96 k + 192 )

r^2 = 1/4 *(25 k^2 + 100k + 200) 

r^2 = 25/4 (k^2 + 4k + 8) 

r = 5/2 * rad (k^2 + 4k + 4 + 4) 

r = 5/2 rad [(k + 2)^2 + 2^2]

il minimo di questa espressione si ottiene quando k + 2 = 0 ed é

 

r_min = 5/2 * rad 2^2 = 5/2*2 = 5.

La circonferenza richiesta ha equazione

x^2 + y^2 - 8x - 6y = 0

https://www.desmos.com/calculator/qz0vc8pz3m