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[Risolto] PROBLEMA PARABOLA

  

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Salve ho questo problema con soluzione ma non so come risolverlo qualcuno potrebbe aiutarmi?

Grazie in anticipo!

Verifica che il punto $A(2 ; 13)$ appartiene alla parabola $y=5 x^{2}-4 x+1$ e trova l'equazione della retta tangente alla parabola in tale punto.
$$
[y=16 x-19]
$$

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1 Risposta
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Il tuo esercizio presenta due problemi: decidere della reciproca posizione fra un punto P e una conica Γ e tracciare tangenti a quest'ultima.
Esiste un metodo generale che, se lo impari, ti eviterà di dire "non so come risolverlo" di non solo di questo singolo problema, ma di intere categorie.
Data una conica Γ (circonferenza, ellisse, parabola, iperbole)
* Γ ≡ A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + D*x + E*y + F = 0
e un punto
* P(u, v)
si risolvono i seguenti cinque problemi
1) verificare che P è interno a Γ (ne vede la concavità)
2) verificare che P appartiene a Γ
3) se P appartiene a Γ trovare la retta per P tangente Γ
4) verificare che P è esterno a Γ (ne vede la convessità)
5) se P è esterno a Γ trovare le due rette per P tangenti Γ
CON UN UNICO CALCOLO che si riduce alla risoluzione di un'equazione di secondo grado che è la risolvente del sistema fra l'equazione di Γ e l'equazione della retta polare del polo P rispetto alla conica Γ.
Se la risolvente ha discriminante
* negativo: P è interno a Γ e la polare non interessa il problema delle tangenti;
* nullo: P appartiene a Γ e la polare è la tangente in P;
* positivo: P è esterno a Γ e la polare interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
------------------------------
MACCHEDE' LA RETTA POLARE?
Semplice!
Si tratta della retta che ha per equazione quella che si ottiene dall'equazione di Γ in forma normale canonica, f(x, y) = 0, lasciàndone inalterati i coefficienti e operando le sostituzioni (formule di sdoppiamento):
* x^2 → u*x
* y^2 → v*y
* x*y → (v*x + u*y)/2
* x → (u + x)/2
* y → (v + y)/2
==============================
NEL CASO IN ESAME
Data la conica Γ (parabola)
* Γ ≡ y = 5*x^2 - 4*x + 1 ≡ 5*x^2 - 4*x - y + 1 = 0
e il punto
* A(2, 13)
si scrive la polare
* r ≡ 5*u*x - 4*(u + x)/2 - (v + y)/2 + 1 = 0 ≡
≡ 5*2*x - 4*(2 + x)/2 - (13 + y)/2 + 1 = 0 ≡
≡ y = 16*x - 19
e la s'interseca con la conica
* (y = 16*x - 19) & (5*x^2 - 4*x - y + 1 = 0) ≡
≡ (y = 16*x - 19) & (5*x^2 - 4*x - (16*x - 19) + 1 = 0) ≡
≡ (y = 16*x - 19) & (5*(x - 2)^2 = 0)
cioè si ha una soluzione doppia proprio in A di cui quindi si è verificata l'appartenenza; quindi la polare trovata è proprio la tangente in A.

Grazie mille sia per la spiegazione di questa formula generale che della spiegazione del mio esercizio in particolare, grazie tante 

 






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