non riesco a capire svolgimento problema fascio di rette

Per "capire lo svolgimento" del problema non devi pretenderne una comprensione olistica (che verrà con l'allenamento), ma devi umilmente accontentarti di una procedura riduzionistica: esaminare e comprendere separatamente le entità componenti e solo alla fine ricomporre il tutto in una soluzione coerente che non potrà che risultare corretta.
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La retta congiungente A(0, 1/2) con B(1, 5/8) è
* AB ≡ y = x/8 + 1/2
con pendenza costante m = 1/8
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Ogni sua perpendicolare è una retta del fascio improprio
* p(q) ≡ y = q - 8*x
di pendenza m' = - 1/m = - 8.
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Il fascio di rette
* r(k) ≡ k*x + (k + 1)*y - 2 = 0
presenta due soli casi particolari
* r(- 1) ≡ x = - 2
* r(0) ≡ y = 2
che ne determinano il centro C(- 2, 2), e il caso generale, per k != - 1,
* r(k) ≡ y = (2 - k*x)/(k + 1)
di pendenza
* m(k) = - k/(k + 1)
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L'esercizio chiede la retta comune al fascio proprio r(k) e al fascio improprio p(q), cioè di risolvere
* m' = m(k) = - k/(k + 1) = - 8 ≡
≡ 8*(k + 1) = k ≡
≡ 8*(k + 1) - k = 0 ≡
≡ k = - 8/7
da cui
* r(- 8/7) ≡ y = (2 - (- 8/7)*x)/(- 8/7 + 1) ≡ y = - 8*x - 14 ≡ p(- 14)
che è proprio il risultato atteso.