Problema sulla parabola

L'equazione con a > 0 é gamma' (grafico rosso) - l'altra invece é gamma (grafico blu )

-x^2 + x + 15/4 = 0

4 - x^2 + x - 1/4 = 0

2^2 - (x - 1/2)^2

x - 1/2 = +- 2

x = +- 2 + 1/2 = -3/2 V 5/2

 

e la differenza é BD = 5/2 + 3/2 = 4

L'altra diagonale del quadrilatero é AC = |c1 - c2| = | 15/4 + 3 | = 27/4

S_[ABCD] = 1/2 * 4 * 27/4 = 27/2

y = a x^2 + bx + c; equazione di una generica parabola;

Parabola blu: ha la concavità verso il basso; vuol dire che il coefficiente a di x^2, è negativo;

y = - x^2 + x + 15/4;

Parabola rossa: ha la concavità verso l'alto; vuol dire che il coefficiente a di x^2, è positivo;

y = 2 x^2 + x - 3.

 

Parabola blu: interseca l'asse y (equazione x = 0), in A; 

interseca l'asse x (equazione y = 0), in B e D;

y = - x^2 + x + 15/4; troviamo le coordinate di A:

x = 0;

y = 15/4;    A (0; 15/4);

troviamo le coordinate di B e D:

y = 0;

- x^2 + x + 15/4 = 0;

x^2 - x - 15/4 = 0;

x = [1 +- radice(1 + 15)] / 2 = [1 +- 4] / 2;

x1 = [1 + 4] / 2 = 5/2;

x2 = [1 -4] / 2 = - 3/2;

D(5/2; 0)  ;  B(- 3/2; 0);

 

Parabola rossa:  y = 2 x^2 + x - 3;

interseca l'asse y ( x = 0); in C;

y = - 3 ;

C ( 0; - 3);

A (0; 15/4); D(5/2; 0)  ;  B(- 3/2; 0);

Quadrilatero ABCD: ha le diagonali perpendicolari, è un romboide; 

[si calcola  l'area con la formula del rombo: A = d1 * d2 / 2];

AC = diagonale verticale sull'asse y;  BD = diagonale orizzontale sull'asse x;

Area = AC * BD / 2;

AC = 15/4 - (- 3) = 15/4 + 3 = 15/4 + 12/4 = 27/4;

BD = 5/2 - (- 3/2) = 5/2 + 3/2 = 8/2 = 4;

Area = 27/4 * 4 / 2 = 27/2.   (Area ABCD).

ciao  @tiziano

Le due parabole γ e γ' in figura hanno entrambe asse di simmetria parallelo all'asse y, quindi equazioni riducibili alla forma
* y = h + a*(x - w)^2
che evidenzia il vertice V(w, h), quindi l'asse x = w, e l'apertura a != 0 (coefficiente di x^2) il cui segno indica il verso della concavità.
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Ai fini dei due problemi posti dall'esercizio 276 tale riduzione non occorre (e allora perché la nomini? Perché non ci avevo pensato e ormai l'ho scritto, male non te ne fa!) in quanto per l'identificazione bastano le aperture
* γ ≡ 2*x^2 + x - 3: a = 2 > 0 → concavità verso y > 0
* γ' ≡ - x^2 + x + 15/4: a = - 1 < 0 → concavità verso y < 0
mentre per l'area S del quadrilatero bastano le coordinate dei vertici
* S = (xD - xB)*(yA - yC)/2
perché come ogni altro quadrilatero con diagonali ortogonali ha per area il loro semiprodotto.
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I vertici si calcolano come intersezioni di ciascun asse coordinato col complesso delle parabole
* γ*γ' ≡ (2*x^2 + x - 3 - y)*( - x^2 + x + 15/4 - y) = 0 ≡
≡ x*(8*x^3 - 4*x^2 - 46*x - 3) - y*(4*y - 3) + 4*x*y*(x + 2) + 45 = 0
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* (x = 0) & (x*(8*x^3 - 4*x^2 - 46*x - 3) - y*(4*y - 3) + 4*x*y*(x + 2) + 45 = 0) ≡ C(0, - 3) ∨ A(0, 15/4)
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* (y = 0) & (x*(8*x^3 - 4*x^2 - 46*x - 3) - y*(4*y - 3) + 4*x*y*(x + 2) + 45 = 0) ≡
≡ (x + 3/2)*(x + 3/2)*(x - 1)*(x - 5/2) = 0 ≡
≡ B(- 3/2, 0) ∨ (1, 0) ∨ D(5/2, 0)
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* S = (xD - xB)*(yA - yC)/2 = (5/2 - (- 3/2))*(15/4 - (- 3))/2 = 27/2
che è proprio il risultato atteso.