Problema di Matematica

Risposto ieri. 

 

https://www.sosmatematica.it/forum/domande/problema-331/#post-66644

 

L'ellisse ha quindi equazione:

 

[ (x-X0)² / a²] + [(y - y0)² / b²] = 1

 

 

Passando la conica per i punto E(6,0) e P(6,4), ovvero punti con stessa ascissa, i fuochi dell'ellisse si trovano sulla retta y=2

 

Passando per i punti (4,0) e (6,0) il centro di simmetria è quindi: C= (5,2)

 

 

 

Sappiamo che i vertici hanno ascissa rispettivamente xC+a e xc-a. Quindi:

 

5+a = 8

a= 3

 

a²=9

 

 

Dall'appartenenza del punto E alla conica si ricava:

 

(8/9)b² = 4

b² = 9/2

 

L'equazione dell'ellisse traslata è quindi:

 

[(x-5)]²/9 + [(y-2)²]/(9/2) = 1

 

 

Eccentricità: e=[radice(a² - b²)] /a

 

e= [radice (9-9/2)]/3 = 1/radice (2)

 

I vertici dell'ellisse sono:

 

V1= (8,2)

V2=(2,2)

 

 

Possiamo riscrivere l'equazione come:

x² + 2y² - 10x - 8y + 24 = 0

 

 

Possiamo determinare l'equazione della retta tangente alla conica nel punto E(6,0) utilizzando le formule di sdoppiamento. 

 

Si ricava:

 

6x - 10* [(x+6)/2] - 8*(y/2) + 24=0

 

x - 4y - 6 = 0

 

L'altra tangente alla conica passante per P(6,4) si ottiene determinando l'equazione della retta passante per P e per il punto d'incontro della prima tangente con la retta y=2 contenente i fuochi. 

 

{y=2

{x-4y-6=0

 

Da cui si ricava: T(14,2), punto esterno alla conica intersezione delle rette tangenti.

 

Quindi la retta per T e P ha equazione:

 

y= - (1/4)*x + 11/2

 

 

 

Le ordinate dei punti d'intersezione delle rette tangenti con l'asse y (11/2, - 3/2) permettono di determinare la base maggiore del trapezio. 

 

B= |11/2 - ( - 3/2)| = 7

 

Le ordinate dei punti d'intersezione della retta x=8 con le retti tangenti (7/2, 1/2) permettono di determinare la base minore del trapezio. 

 

b= |7/2 - 1/2| = 3

 

L'altezza del trapezio è h=8

 

Quindi: 

 

A=(b+B) *h/2 = 10*8/2 = 40

 

@Tommasello 

Ogni ellisse traslata ha equazione di forma
* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1
dove i parametri sono i semiassi (a, b) e le coordinate del centro C(α, β).
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"ha i fuochi su un asse parallelo all'asse x" ≡ 0 < b < a
da cui la semidistanza focale c e l'eccentricità e
* c = √(a^2 - b^2)
* e = c/a = √(1 - (b/a)^2)
------------------------------
"è tangente alla retta di equazione r: x=8" ≡ α = 8 ± a
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"taglia l'asse x nei punti D(4;0) ed E(6;0) e passa per il punto P(6;4)" ≡
≡ (x = 5 ± 1) & (x = 2 ± 2) ≡
≡ C(5, 2)
perché il centro dei rettangoli inscritti è quello dell'ellisse.
Quindi
* (α = 8 ± a = 5) & (0 < b < a) ≡ a = 3
* Γ ≡ ((x - 5)/3)^2 + ((y - 2)/b)^2 = 1
i vincoli d'appartenenza
* (((4 - 5)/3)^2 + ((0 - 2)/b)^2 = 1) & (((6 - 5)/3)^2 + ((0 - 2)/b)^2 = 1) & (((6 - 5)/3)^2 + ((4 - 2)/b)^2 = 1) & (b > 0) ≡
≡ (b = 3/√2) & (b = 3/√2) & (b = 3/√2) ≡ b = 3/√2
concordemente determinano
* Γ ≡ ((x - 5)/3)^2 + ((y - 2)/(3/√2))^2 = 1
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"dopo aver scritto l'equazione di Γ,trovane i vertici e l'eccentricità"
* sull'asse maggiore: C ± a ≡ V(5 ± 3, 2) ≡ V1(2, 2) oppure V3(8, 2)
* sull'asse minore: C ± a ≡ V(5, 2 ± 3/√2) ≡ V2(5, 2 - 3/√2) oppure V4(5, 2 + 3/√2)
* e = √(1 - (b/a)^2) = √(1 - ((3/√2)/3)^2) = 1/√2
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"scrivi ... E e P"
I punti E e P sono su Γ, quindi le tangenti richieste sono le loro polari calcolate per sdoppiamento sulla forma normale canonica di Γ
* Γ ≡ ((x - 5)/3)^2 + ((y - 2)/(3/√2))^2 = 1 ≡
≡ x^2 + 2*y^2 - 10*x - 8*y + 24 = 0
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* t1 in E(6, 0): 6*x + 2*0*y - 10*(x + 6)/2 - 8*(y + 0)/2 + 24 = 0 ≡ y = (x - 6)/4
* t2 in P(6, 4): 6*x + 2*4*y - 10*(x + 6)/2 - 8*(y + 4)/2 + 24 = 0 ≡ y = (22 - x)/4
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"calcola l'area del trapezio delimitato dall'asse y e dalle rette r, t1 e t2"
Le rette x = 0 ed x = 8 distano quanto l'altezza del trapezio: h = 8.
La media delle basi m = (a + b)/2 si ottiene calcolando le intersezioni fra le coniche degeneri
* x*(x - 8) = 0
* ((x - 6)/4 - y)*((22 - x)/4 - y) = 0
* (x^2 = 8*x) & (x^2 - 16*y^2 - 28*x + 64*y + 132 = 0) ≡
≡ A(0, 11/2) oppure B(0, - 3/2) oppure C(8, 1/2) oppure D(8, 7/2)
da cui
* a = |AB| = 7
* b = |CD| = 3
* m = (a + b)/2 = 5
e infine l'area S del trapezio
* S = h*m = 8*5 = 40
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Grafico complessivo al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2-10*x-8*y%3D-2*y%5E2-24%2Cx%5E2%3D8*x%2Cx%5E2-16*y%5E2-28*x%3D-64*y-132%5Dx%3D-1to15