Passando la conica per i punto E(6,0) e P(6,4), ovvero punti con stessa ascissa, i fuochi dell'ellisse si trovano sulla retta y=2
Passando per i punti (4,0) e (6,0) il centro di simmetria è quindi: C= (5,2)
Sappiamo che i vertici hanno ascissa rispettivamente xC+a e xc-a. Quindi:
5+a = 8
a= 3
a²=9
Dall'appartenenza del punto E alla conica si ricava:
(8/9)b² = 4
b² = 9/2
L'equazione dell'ellisse traslata è quindi:
[(x-5)]²/9 + [(y-2)²]/(9/2) = 1
Eccentricità: e=[radice(a² - b²)] /a
e= [radice (9-9/2)]/3 = 1/radice (2)
I vertici dell'ellisse sono:
V1= (8,2)
V2=(2,2)
Possiamo riscrivere l'equazione come:
x² + 2y² - 10x - 8y + 24 = 0
Possiamo determinare l'equazione della retta tangente alla conica nel punto E(6,0) utilizzando le formule di sdoppiamento.
Si ricava:
6x - 10* [(x+6)/2] - 8*(y/2) + 24=0
x - 4y - 6 = 0
L'altra tangente alla conica passante per P(6,4) si ottiene determinando l'equazione della retta passante per P e per il punto d'incontro della prima tangente con la retta y=2 contenente i fuochi.
{y=2
{x-4y-6=0
Da cui si ricava: T(14,2), punto esterno alla conica intersezione delle rette tangenti.
Quindi la retta per T e P ha equazione:
y= - (1/4)*x + 11/2
Le ordinate dei punti d'intersezione delle rette tangenti con l'asse y (11/2, - 3/2) permettono di determinare la base maggiore del trapezio.
B= |11/2 - ( - 3/2)| = 7
Le ordinate dei punti d'intersezione della retta x=8 con le retti tangenti (7/2, 1/2) permettono di determinare la base minore del trapezio.
Nella nomenclatura matematica si usano come simboli i caratteri degli alfabeti latino, greco, gotico con funzioni ormai, dopo più di due secoli, abbastanza standardizzate; i caratteri greci minuscoli per nomi di costanti, variabili o funzioni (γ, ζ, μ, ν, π) nelle formule o per nominare piani; quelli maiuscoli per nominare curve. Perciò il nome dell'ellisse dovrebb'essere il carattere "Γ Gamma maiuscolo" e non "γ gamma minuscolo" né tantomeno "y ypsilon minuscolo" come hai tentato di scrivere tu, senza nemmeno riuscirci (corsivizzare non grecizza!). ------------------------------ Ogni ellisse traslata ha equazione di forma * Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1 dove i parametri sono i semiassi (a, b) e le coordinate del centro C(α, β). ------------------------------ "ha i fuochi su un asse parallelo all'asse x" ≡ 0 < b < a da cui la semidistanza focale c e l'eccentricità e * c = √(a^2 - b^2) * e = c/a = √(1 - (b/a)^2) ------------------------------ "è tangente alla retta di equazione r: x=8" ≡ α = 8 ± a ------------------------------ "taglia l'asse x nei punti D(4;0) ed E(6;0) e passa per il punto P(6;4)" ≡ ≡ (x = 5 ± 1) & (x = 2 ± 2) ≡ ≡ C(5, 2) perché il centro dei rettangoli inscritti è quello dell'ellisse. Quindi * (α = 8 ± a = 5) & (0 < b < a) ≡ a = 3 * Γ ≡ ((x - 5)/3)^2 + ((y - 2)/b)^2 = 1 i vincoli d'appartenenza * (((4 - 5)/3)^2 + ((0 - 2)/b)^2 = 1) & (((6 - 5)/3)^2 + ((0 - 2)/b)^2 = 1) & (((6 - 5)/3)^2 + ((4 - 2)/b)^2 = 1) & (b > 0) ≡ ≡ (b = 3/√2) & (b = 3/√2) & (b = 3/√2) ≡ b = 3/√2 concordemente determinano * Γ ≡ ((x - 5)/3)^2 + ((y - 2)/(3/√2))^2 = 1 ------------------------------ "dopo aver scritto l'equazione di Γ,trovane i vertici e l'eccentricità" * sull'asse maggiore: C ± a ≡ V(5 ± 3, 2) ≡ V1(2, 2) oppure V3(8, 2) * sull'asse minore: C ± a ≡ V(5, 2 ± 3/√2) ≡ V2(5, 2 - 3/√2) oppure V4(5, 2 + 3/√2) * e = √(1 - (b/a)^2) = √(1 - ((3/√2)/3)^2) = 1/√2 ------------------------------ "scrivi ... E e P" I punti E e P sono su Γ, quindi le tangenti richieste sono le loro polari calcolate per sdoppiamento sulla forma normale canonica di Γ * Γ ≡ ((x - 5)/3)^2 + ((y - 2)/(3/√2))^2 = 1 ≡ ≡ x^2 + 2*y^2 - 10*x - 8*y + 24 = 0 --------------- * t1 in E(6, 0): 6*x + 2*0*y - 10*(x + 6)/2 - 8*(y + 0)/2 + 24 = 0 ≡ y = (x - 6)/4 * t2 in P(6, 4): 6*x + 2*4*y - 10*(x + 6)/2 - 8*(y + 4)/2 + 24 = 0 ≡ y = (22 - x)/4 ------------------------------ "calcola l'area del trapezio delimitato dall'asse y e dalle rette r, t1 e t2" Le rette x = 0 ed x = 8 distano quanto l'altezza del trapezio: h = 8. La media delle basi m = (a + b)/2 si ottiene calcolando le intersezioni fra le coniche degeneri * x*(x - 8) = 0 * ((x - 6)/4 - y)*((22 - x)/4 - y) = 0 * (x^2 = 8*x) & (x^2 - 16*y^2 - 28*x + 64*y + 132 = 0) ≡ ≡ A(0, 11/2) oppure B(0, - 3/2) oppure C(8, 1/2) oppure D(8, 7/2) da cui * a = |AB| = 7 * b = |CD| = 3 * m = (a + b)/2 = 5 e infine l'area S del trapezio * S = h*m = 8*5 = 40 ------------------------------ Grafico complessivo al link http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2-10*x-8*y%3D-2*y%5E2-24%2Cx%5E2%3D8*x%2Cx%5E2-16*y%5E2-28*x%3D-64*y-132%5Dx%3D-1to15