tre numeri reali positivi Z>K>H sono i termini di una progressione aritmetica e la loro somma è 48. Rappresentano, rispettivamente, l’asse maggiore, l’asse minore e la distanza focale di un’ellisse centrata nell’origine O di un sistema di riferimento cartesiano Oxy, con i fuochi sull’asse x. Determina l’equazione della curva. Indicati con A, B e F rispettivamente i vertici e il fuoco, di coordinate non negative, dell’ellisse, trova l’area del triangolo mistilineo ABF
6
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Livello 0
Ogni ellisse centrata nell'origine con i fuochi su un asse coordinato ha equazione di forma
* Γ ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
dove i parametri sono i semiassi (a, b).
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"con i fuochi sull'asse x" ≡ 0 < b < a
da cui la semidistanza focale c e l'eccentricità e
* c = √(a^2 - b^2)
* e = c/a = √(1 - (b/a)^2)
quindi i "tre numeri reali positivi Z>K>H" sono rispettivamente
* 2*a > 2*b > 2*c
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"reali positivi Z>K>H sono i termini di una progressione aritmetica e la loro somma è 48" ≡
≡ (H + K + Z = 48) & (K = H + D) & (Z = K + D) & (H > 0) & (D > 0) ≡
≡ (H = 16 - D) & (K = 16) & (Z = 16 + D) & (0 < D < 16)
nell'ipotesi che "sono i termini di" stia per "sono tre termini consecutivi di".
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"Determina l'equazione della curva"
Dimezzare, con d = D/2, e sostituire c = √(a^2 - b^2).
* (h = c = 8 - d) & (k = b = 8) & (z = a = 8 + d) & (0 < d < 8)
* a > b > c ≡
≡ a > b > √(a^2 - b^2) →
→ (8 + d > 8 - d > √((8 + d)^2 - (8 - d)^2) = 8) & (0 < d < 8) ≡
≡ d = 2 →
→ (c = 6) & (b = 8) & (a = 10)
da cui
* Γ ≡ (x/10)^2 + (y/8)^2 = 1
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I fuochi sono: F1(- 6, 0), F2(6, 0).
I vertici sono: V1(- 10, 0), V2(0, - 8), V3(10, 0), V4(0, 8).
fra essi quelli "di coordinate non negative" sono: A = V3(10, 0), B = V4(0, 8), F = F2(6, 0).
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"trova l'area del triangolo mistilineo ABF"
che è la differenza fra un quarto di quella dell'ellisse (π*a*b = 80*π) e quella di OFB (a*b/2 = 40)
* S(ABF) = S(Γ)/4 - S(OFB) = 80*π/4 - 40 = 20*(π - 2) ~= 22.831853 ~= 22.83
51564
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Genius I
Parte prima
48 : 3 = 16 é il numero centrale
Poiché l'unica terna pitagorica fondamentale ( deve essere a^2 = b^2 + c^2)
che é in progressione aritmetica é (3,4,5) allora 4n = 16 => n = 4
Essendo a > b, 2a = 5n = 20, 2b = 16
a = 10, b = 8
l'equazione richiesta é x^2/100 + y^2/64 = 1
Parte seconda
Considerando che risulta
A = (10,0), B = (0,8) C = (6,0)
S = area del quarto superiore destro dell'ellisse - area triangolo rettangolo AOB =
= TT/4 a b - 1/2 b c = b/4 ( TT a - 2 c ) = 2 ( 20 TT - 12 ) = 8 ( 5 TT - 3 )
36954
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Livello 6
