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ellisse es n47

  

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Rappresenta l'ellisse di equazione $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{36}=1$ e determina i punti di intersezione C e $D$ con la retta di equazione $3 x-y-6=0$. Scrivi le equazioni delle rette tangenti all'ellisse in $C$ e $D$ e, detto $P$ il loro punto di intersezione, calcola il perimetro e l'area del triangolo $C D P$. Verifica che il baricentro del triangolo si trova sull'ellisse.
$$
[C(0 ;-6), D(3 ; 3) ; y=-6,3 x+y-12=0 ; P(6 ;-6) ; 6+6 \sqrt{10}, 27]
$$

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{x^2/12 + y^2/36 = 1

{3·x - y - 6 = 0

procedo per sostituzione: y = 3·x - 6

x^2/12 + (3·x - 6)^2/36 - 1 = 0

3·x^2 + (3·x - 6)^2 - 36 = 0

12·x^2 - 36·x = 0----> 12·x·(x - 3) = 0

x = 3 ∨ x = 0

Soluzione sistema: [x = 0 ∧ y = -6, x = 3 ∧ y = 3]

y = -6 è una retta tangente

L'altra con formule di sdoppiamento:

3·x/12 + 3·y/36 = 1-----> y = 12 - 3·x

Punto P:

{y = 12 - 3·x

{y = -6

[x = 6 ∧ y = -6]---->  P(6,-6)

Baricentro triangolo CDP:

{x = (0 + 3 + 6)/3

{y = (-6 + 3 - 6)/3

G(3,-3)

Appartiene all'ellisse:

3^2/12 + (-3)^2/36 = 1---> 1 = 1 OK!!

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perimetro

CP = 6 ; CD = PD = √((3 - 0)^2 + (3 + 6)^2) = 3·√10

perimetro=6 + 2·(3·√10) = 6·√10 + 6

 

 



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