Rappresenta l'ellisse di equazione $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{36}=1$ e determina i punti di intersezione C e $D$ con la retta di equazione $3 x-y-6=0$. Scrivi le equazioni delle rette tangenti all'ellisse in $C$ e $D$ e, detto $P$ il loro punto di intersezione, calcola il perimetro e l'area del triangolo $C D P$. Verifica che il baricentro del triangolo si trova sull'ellisse.
$$
[C(0 ;-6), D(3 ; 3) ; y=-6,3 x+y-12=0 ; P(6 ;-6) ; 6+6 \sqrt{10}, 27]
$$
14
punti
Livello 0
{x^2/12 + y^2/36 = 1
{3·x - y - 6 = 0
procedo per sostituzione: y = 3·x - 6
x^2/12 + (3·x - 6)^2/36 - 1 = 0
3·x^2 + (3·x - 6)^2 - 36 = 0
12·x^2 - 36·x = 0----> 12·x·(x - 3) = 0
x = 3 ∨ x = 0
Soluzione sistema: [x = 0 ∧ y = -6, x = 3 ∧ y = 3]
y = -6 è una retta tangente
L'altra con formule di sdoppiamento:
3·x/12 + 3·y/36 = 1-----> y = 12 - 3·x
Punto P:
{y = 12 - 3·x
{y = -6
[x = 6 ∧ y = -6]----> P(6,-6)
Baricentro triangolo CDP:
{x = (0 + 3 + 6)/3
{y = (-6 + 3 - 6)/3
G(3,-3)
Appartiene all'ellisse:
3^2/12 + (-3)^2/36 = 1---> 1 = 1 OK!!
perimetro
CP = 6 ; CD = PD = √((3 - 0)^2 + (3 + 6)^2) = 3·√10
perimetro=6 + 2·(3·√10) = 6·√10 + 6
83220
punti
Genius II
