[Risolto] Esercizio parabola

a) Equazione retta $ t $ passante per $ A $ e $ B $ con $ x_A = 1 $ e $ x_B= 6 $ appartenente a $ y = x^2-5x+6 $
Trovo $ y_A $ e $ y_B $:
$\begin{cases}
x = 1 \\ y = x^2-5x+6
\end{cases}
$
$\begin{cases}
x = 1 \\ y = 1^2-5\cdot 1+6 = 2
\end{cases}
$
$ A = (1;2) $
mentre
$\begin{cases}
x = 6 \\ y = x^2-5x+6
\end{cases}
$
$\begin{cases}
x = 6 \\ y = 6^2-5\cdot 6+6 = 12
\end{cases}
$
$ A = (6;12) $
Uso l'equazione della retta passante per i due punti:
$ \frac{y-y_A}{y_B -y_A} = \frac{x-x_A}{x_B-x_A}$
$ \frac{y-2}{12-2} = \frac{x-1}{6-1} $
$ y-2 = 2x-2 \Rightarrow y = 2x $
b) L'area del segmento parabolico si ricava dalla formula (dove $ a $ è il coefficiente di $ x^2 $, cioè $ 1 $)
$ S = \frac{1}{6} |a||x_B-x_a|^3 = \frac{1}{6}1|6-1|^3 = \frac{125}{6}$

$ C $ è ottenuto dall'intersezione di $ r $ ed $ s $ tangenti ad $ A $ e $ B $
La retta tangente di $ A $ ha forma
$ y-y_A = m(x-x_A) $
e analogamente per $ B $
$ y-y_B = m(x-x_B) $
Mettiamo a sistema con l'equazione della parabola:
$ \begin{cases}
y-y_A = m(x-x_A) \\ y = x^2-5x+6
\end{cases} $
$ \begin{cases}
y =2+ m(x-1) \\ y = x^2-5x+6
\end{cases} $

$ \begin{cases}
y =2+ m(x-1) \\ 2+m(x-1) = x^2-5x+6
\end{cases} $
$ \begin{cases}
y =2+ m(x-1) \\ x^2-5x -mx+m+4 = 0
\end{cases} $
Quindi abbiamo trovato un'equazione di secondo grado.
La condizione di tangenza è che le due curve si intersechino in un unico punto, quindi $ \Delta = 0 $:
$ \Delta = b^2-4ac = (-5-m)^2-4\cdot 1 \cdot (m+4) = 25+10m+m^2-4m-16$
quindi dobbiamo risolvere
$ 25+10m+m^2-4m-16 = 0 $
cioè
$ m^2+6m + 9 = 0 $
$ m = \frac{-6\pm \sqrt{36-36}}{2} = \frac{-6}{3} = -3$
Quindi la retta è $ r: \ y=2-3(x-1)$

Mettiamo a sistema con l'equazione della parabola:
$ \begin{cases}
y-y_B = m(x-x_B) \\ y = x^2-5x+6
\end{cases} $
$ \begin{cases}
y =12+ m(x-6) \\ y = x^2-5x+6
\end{cases} $

$ \begin{cases}
y =12+ m(x-6) \\ 12+m(x-6) = x^2-5x+6
\end{cases} $
$ \begin{cases}
y =12+ m(x-6) \\ x^2-mx-5x+6m-6 = 0
\end{cases} $
Quindi abbiamo trovato un'equazione di secondo grado.
La condizione di tangenza è che le due curve si intersechino in un unico punto, quindi $ \Delta = 0 $:
$ \Delta = b^2-4ac = (-5-m)^2-4\cdot 1 \cdot (6m-6) = 25+m^2+10m-24m+24$
quindi dobbiamo risolvere
$ 25+m^2+10m-24m+24 = 0 $
cioè
$ m^2-14m+49 = 0 $
$ m = \frac{14\pm \sqrt{196-196}}{2} = \frac{14}{2} = 7$
Quindi la retta è $ s: \ y=7x-30 $

Ora ricavo $ C $ come intersezione:
$ \begin{cases}
y= 7x-30 \\ y = -3x+5
\end{cases} $
$ \begin{cases}
y= 7x-30 \\ 7x-30 = -3x+5
\end{cases} $
$ \begin{cases}
y= 7x-30 \\ 10x = 35
\end{cases} $
$ \begin{cases}
y= 7x-30 \\ x =\frac{7}{2}
\end{cases} $
$ \begin{cases}
y= 7\frac{7}{2}-30 \\ x =\frac{7}{2}
\end{cases} $
$ C = (\frac72, -\frac{11}{2}) $

Scelgo come base $ AB $ e calcolo l'altezza, che è il segmento perpendicolare ad $ AB $ passante per $ C $.
La definizione di distanza punto-retta ci aiuta nel calcolo dell'altezza: è la distanza calcolata come segmento che collega il punto e la retta in modo perpendicolare.
Allora basta calcolare la distanza punto $ C $-retta $ AB $ per avere l'altezza:
mettiamo la retta in forma implicita: $ y-2x = 0 $
$ d = \frac{|1 \cdot (-\frac{11}{2}) -2 \cdot \frac{7}{2}|}{\sqrt{1^2+2^2}}$
$ d = \frac{25}{2\sqrt{5}} $
Calcoliamo la distanza $ AB: \sqrt{(6-1)^2 +(12-2)^2} = \sqrt{25+100} = 5 \sqrt{5}$
Allora l'area è:
Area$ = \frac{25}{2\sqrt{5}}\frac{5 \sqrt{5}}{2} = \frac{125}{4}$

Troviamo i punti A e B sostituendo le reispettive ascisse nell'equazione della parabola: A(1,2), B(6,12)

La retta AB ha equazione:

$\frac{y-2}{12-2} =\frac{x-1}{6-1}$

facendo i calcoli si trova $y=2x$.
L'area del segmento parabolico di solito si calcola con un'integrale, ma se tu non hai ancora fatto le derivate puoi usare il teorema di Archimede: l'area del segmento parabolico e` i $2/3$ dell'area del parallelogramma circoscritto.

Bisogna trovare la retta parallela ad AB e tangente alla parabola, cioe` una retta della forma:

$y=2x+q_y=2x+q$

che abbia in comune con la parabola un punto doppio:
$\begin{cases}
y=x^2-5x+6 \\
y=2x
\end{cases} $

$x^2-7x+6-q=0$ 

e imponendo che il discriminante sia nullo (in modo che abbia soluzioni coincidenti) si trova q=-25/4.

Quindi la retta cercata e` y=2x-25/4 (retta CD in figura)
Per ricavare l'area del parallelogramma ABDC bisogna calcolare la lunghezza della base AB e l'altezza, cioe` la distanza del punto A dalla retta CD.

$AB=5\sqrt{5}AB=5\sqrt{5}$

$altezza=\frac{5\sqrt{5} }{4} $

$A_ABCD=5\sqrt{5}\frac{5\sqrt{5} }{4}=\frac{125}{4}$

Area del segmento parabolico:

$A=\frac{2}{3}A$

$A_ABDC=\frac{125}{6}$

Per trovare le rette r ed s si segue un procedimento simile.

La retta r tangente in A alla parabola e` una generica retta passante per A:
y-2=m(x-1) cioè y=mx-m+2

$\begin{cases}
y=x^2-5x+6 \\
y=mx-m+2
\end{cases}$

Si impone:

$\Delta =0$

$(5+m)^2-4(4+m)=0$

facendo i calcoli si trova m=-3, quindi la retta r ha equazione

$y=-3x+5y=-3x+5$

Analogamente si procede per trovare la retta s, e si trova s: y=7x-30

 

Il punto C e` l'intersezione tra r e s:

$\begin{cases}
y=-3x+5 \\
y=7x-30
\end{cases}$

Risolvendo il sistema si trova:

$C(\frac{7}{2},\frac-{11}{2})$

Per calcolare l'area del triangolo ABC basta calcolare l'altezza, cioe` la distanza di C dalla retta AB (la base AB l'abbiamo calcolata prima).

$H=\frac{5\sqrt{5} }{2} $

per cui l'area del triangolo è:

$A_ABC=\frac{1}{2}AB\cdot H=\frac{125}{4}$