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[Risolto] MINIMI E MASSIMI

  

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Durante i test drive sulla pista di una fabbrica di auto, il veicolo in prova viene controllato a distanza. Un dispositivo permette di variarne la velocità, espressa in km/h, secondo la legge:

v(t)= 1600 ((t)/(10t+1))
in cui la variabile t rappresenta il tempo espresso in ore. Il test dura 3 ore. Dall’analisi dei consumi si vede che il consumo di carburante in litri per 100 km dipende dalla velocità 𝑣 ≥ 0 secondo la legge: k(v)= (1000)/(250-v)
.
a. Dimostra che per tutta la durata del test la velocità aumenta, ma non in modo costante e determina la velocità massima raggiunta dall’auto durante il test. Rispetto alla velocità massima potenzialmente raggiungibile dall’auto che è di 160 km/h, la velocità massima raggiunta durante il test quale percentuale rappresenta?

b. Quanto tempo impiega il veicolo per raggiungere i 40 km/h? Qual è il consumo di carburante previsto dal modello, a questa velocità?

c. Spiega perché la relazione c(t)=( k(v(t))*v(t) )/(100) fornisce il consumo istantaneo di carburante in funzione del tempo t, espresso in L/h. Trova l’espressione della funzione c(t) e rappresentala per 𝑡 ∈ [0; 3] .

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La funzione velocità
* v(t) = 1600*t/(10*t + 1) km/h
ha la pendenza
* a(t) = 1600/(10*t + 1)^2 km/h^2
che è sì positiva ovunque, ma tutt'altro che costante: cala da a(0) = 1600 fino a tendere a zero come 1/t^2.
Quindi la velocità cresce monotonicamente da v(0) = 0 al limite v(∞) = 160.
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Nell'intervallo "t in [0, 3]" il massimo è
* v(3) = 4800/31 ~= 154.8 km/h
che, rispetto alla velocità limite, ne rappresenta la percentuale
* 100*v(3)/v(∞) = 100*(4800/31)/160 = 3000/31 ~= 96.77
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Il veicolo raggiunge i 40 km/h al tempo T per cui si ha
* v(T) = 1600*T/(10*T + 1) = 40 ≡ T = 1/30 h = 2 minuti
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Il consumo
* k(v) = 1000/(250 - v) L/(100 km)
alla velocità di 40 km/h è
* k(40) = 100/21 = 4.(761904) ~= 4.762 L/(100 km)
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Avendo
* v(t) = 1600*t/(10*t + 1) km/h
* K(v) = 10/(250 - v) = 10/(250 - 1600*t/(10*t + 1)) L/km (= k(v)/100)
è banale notare che il loro prodotto
* c(t) = (1600*t/(10*t + 1) km/h)*(10/(250 - v) L/km) =
= 320*t/(18*t + 5) L/h
deve avere le dimensioni indicate, di volume per unità di tempo.
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Puoi vederne la rappresentazione al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%5By%3D320*x%2F%2818*x+plus+5%29%2C%7Bx%2C0%2C3%7D%5D

 






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