Matematica

Sino al punto b)

y = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

y' = 3·a·x^2 + 2·b·x + c

y'' = 6·a·x + 2·b

Si devono imporre 4 condizioni:

{0 = a·0^3 + b·0^2 + c·0 + d  (la funzione passa per l'origine [0, 0])

{1 = a·1^3 + b·1^2 + c·1 + d     (la funzione passa per [1, 1] )

{2 = 3·a·0^2 + 2·b·0 + c  (la derivata prima in x =0 vale 2)

{-6 = 6·a·1 + 2·b    (la derivata seconda in x=1 vale -6)

Quindi risolvo il sistema:

{d = 0

{a + b + c + d = 1

{c = 2

{6·a + 2·b = -6

ed ottengo: [a = -1 ∧ b = 0 ∧ c = 2 ∧ d = 0]

La funzione (cubica) è quindi: y = - x^3 + 2·x

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Rette tangenti alla cubica passanti per P [1, 2] ed i relativi punti di tangenza

Siano: [α, β] le relative coordinate del generico punto di tangenza.

Dovrà quindi risultare:

β = - α^3 + 2·α

Poi retta per i due punti:

(y - 2)/(x - 1) = (β - 2)/(α - 1)

sviluppando si ottiene: y = x·(β - 2)/(α - 1) + (2·α - β)/(α - 1)

Quindi:

{2 - 3·α^2 = (β - 2)/(α - 1)

{β = - α^3 + 2·α

(la 1^ indica il significato geometrico di derivata nel punto di tangenza)

Risolvo ed ottengo: [α = 0 ∧ β = 0, α = 3/2 ∧ β = - 3/8]

Quindi due punti di tangenza:

A [0, 0]   e B [3/2, - 3/8]

Rette tangenti:

y = x·(0 - 2)/(0 - 1) + (2·0 - 0)/(0 - 1)---> y = 2·x

y = x·(- 3/8 - 2)/(3/2 - 1) + (2·(3/2) - (- 3/8))/(3/2 - 1)

y = 27/4 - 19·x/4

[0, 0]

[3/2, - 3/8]

[1, 2]

[0, 0]

Α = 1/2·ABS((0·(- 3/8) + 3/2·2 + 1·0) - (0·2 + 1·(- 3/8) + 3/2·0))

Α = 1/2·ABS(3 - (- 3/8))

Α = 1/2·ABS(27/8)----> Α = 27/16

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y = - x^3 + 2·x  per x = 1

y = - 1^3 + 2·1 ----> y = 1

[1, 1]

Quindi il diametro della circonferenza cercata passa da [0, 0] e da [1,1]

Il centro deve essere: [1/2, 1/2]

per cui r^2 vale:

r^2 = (1/2)^2 + (1/2)^2----> r^2 = 1/2

(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 1/2  equazione cartesiana circonferenza

anche:

x^2 + y^2 - x - y = 0