Problemi di fisica sul moto parabolico

Svolgo il primo

Hai i dati

h = 0.45 m, vo = 2.62 m/s, a = 60°.5

e le leggi orarie

x = vo t cos a

y = vo t sin a - 1/2 g t^2 + h

a) ricavi T dalla condizione y(T) = 0

- g/2 T^2 + vo T sin a + h = 0

g T^2 - 2 vo sin(a) T - 2h = 0

T = [ vo sin(a) + sqrt (vo^2 * sin^2(a) + 2 g h ) ]/g

Sostituendo ed affidando a Octave il calcolo, T = 0.6143 s

b) D = vo T sin (a) = 0.793 m

octave:1> vo = 2.62
vo = 2.6200
octave:2> g = 9.81
g = 9.8100
octave:3> a = 60.5/180*pi
a = 1.0559
octave:4> h = 0.45
h = 0.4500
octave:5> t = (vo*sin(a)+sqrt((vo*sin(a))^2+2*g*h))/g
t = 0.6143

8a

moto verticale 

(0-h) = Vo*sen 60,5°*t-g/2*t^2

-0,45 = 2,62*0,870*t-4,903t^2

t = (2,280+√2,280^2+1,80*4,903)/9,806 = 0,614 sec 

8b

moto orizzontale

d = Vo*cos 60,5*t = 2,62*0,4924*0,614 = 0,793 m  

9a)

conservazione dell'energia :

m^2*Voy^2 = m*g*h 

Voy = √2gh = √61,5*2*9,806 = 34,73 m/sec 

gittata S = Voy^2/g = 2gh/g = 2h = 123m 

9b) 

tempo di caduta t = √2h/g 

range d = Vox*d =  √2hg*√2h/g  = √4h^2 = 2h = 123 m  

Un punto materiale (non "un seme" o "una palla di cannone"!) che lasci la posizione di lancio L(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
dove g è l'accelerazione locale o, in assenza, è quella standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
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Nel caso di lancio verticale verso l'alto (θ = 90°), all'istante zero, da quota zero, con velocità V, le equazioni si semplificano in
* y(t) = (V - (g/2)*t)*t
* vy(t) = V - g*t
da cui la relazione fra velocità V di lancio e massima altezza h raggiunta
* 2*g*h = V^2
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Nel caso di lancio orizzontale (θ = 0°), all'istante zero, da quota h, con velocità V, le equazioni si semplificano in
* x(t) = V*t
* y(t) = h - (g/2)*t^2
* vy(t) = - g*t
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La traiettoria parabolica percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
La gittata del lancio è l'ascissa positiva del secondo passaggio per la quota h; ma, secondo il contesto, la si può anche intendere come l'ascissa positiva al suolo.
Per θ = 45° si ha la gittata (nel 1° senso) massima.
Per θ = 0° si ha la gittata (nel 2° senso) X = V*√(2*h/g).
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ESERCIZIO #8
Dati
* h = 0.45 = 9/20 m
* V = 2.62 = 131/50 m/s
* θ = 60.5°
si chiedono istante e ascissa dell'arrivo al suolo.
Le equazioni del moto diventano
* x(t) = (131/50)*cos(60.5°)*t
* y(t) = 9/20 + ((131/50)*sin(60.5°) - (196133/40000)*t)*t
da cui l'arrivo al suolo all'istante T nell'ascissa X
* (9/20 + ((131/50)*sin(60.5°) - (196133/40000)*T)*T = 0) & (T > 0) ≡
≡ T ~= 0.615 s
* x(T) = (131/50)*cos(60.5°)*0.614724 ~= 0.793 m
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ESERCIZIO #9
Escludendo i cannoni, per i soli punti materiali si ha quanto segue.
L'unico dato è
* h = 61.5 = 123/2 m
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Quesito A
* 2*g*h = V^2 ≡
≡ V = √(2*g*h) = √(2*(196133/20000)*123/2) = √48248718/200 ~= 34.731 m/s
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Quesito B
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Gittata per (h, V, θ) = (0, √48248718/200, 45°)
* y(T) = 0 + ((√48248718/200)*sin(45°) - (196133/40000)*T)*T = 0 ≡
≡ T = 200*√(123/196133) ~= 5 s
* x(T) = (√48248718/200)*cos(45°)*200*√(123/196133) = 123 m
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Gittata per (h, V, θ) = (123/2, √48248718/200, 0°)
* y(T) = 123/2 - (196133/40000)*T^2 = 0 ≡
≡ T = 100*√(246/196133) ~= 3.5 s
* x(T) = (√48248718/200)*100*√(246/196133) = 123 m