Svolgo l'esercizio a modo mio anche se non piacerà al tuo docente.
Poiché g : u -> u^3/3 é una funzione strettamente crescente devi trovare gli estremi di
G(x,y,L) = x + y + L( x^2/2 + xy + y^2 - 2 )
le condizioni sulle derivate parziali sono
1 + L(x + y) = 0
1 + L(x + 2y) = 0
x^2/2 + xy + y^2/2 - 2 = 0 ( vincolo non esplicitabile )
dal confronto (x + 2y) = -1/L = x + y
y = 0
x^2/2 - 2= 0
x^2 - 4 = 0
x = -2 V x = 2
Si individuano quindi A = (-2,0) con L = -1/(-2) = 1/2
e B = (2,0) con L = -1/(2) = -1/2
Che tali punti siano estremi relativi può essere provato facilmente
la matrice Hessiana é
[ L L ]
[ L 2L ]
|H| = 2L^2 - L^2 = L^2 = 1/4 > 0 per entrambi i punti
che sono pertanto estremi relativi
inoltre A che ha L > 0 é un minimo e B che ha L < 0 é un massimo.
I valori della funzione sono - 8/3 e 8/3 ricavati per sostituzione diretta.
La dimostrazione che sono estremi assoluti la svolgo in un modo
sicuramente corretto, ma che non si può generalizzare, per cui aspettiamo
qualche utente geniale che si faccia venire in mente qualcosa di meglio.
Riscrivo il vincolo nella forma seguente
x^2 + 2xy + 2y^2 - 4 = 0
x^2 + 2xy + y^2 + y^2 = 4
(x + y)^2 + y^2 = 4
[(x + y)/2]^2 + (y/2)^2 = 1
(ellisse ruotata)
per cui posto (x + y)/2 = cos v, y/2 = sin v
x + y = 2 cos v é massimo quando é 2
e quindi x + y = 2, y = 0 e x = 2
ed é minimo quando é -2
per cui x + y = -2, y = 0 e x = -2
Abbiamo ritrovato per via elementare i due punti di estremo vincolato,
attraverso una parametrizzazione della curva specifica e abbiamo anche
dimostrato che sono estremi assoluti.
Buona domenica.
