[Risolto] L’area di un dominio ed equazione del piano tangente in un punto di una superficie

Se la curva è regolare e di classe infinita, allora calcolare l'integrale della misura della curva, che è dato da \( \int y \, dx \), dovrebbe dare zero se la curva è chiusa e il suo primo coefficiente di forma è nullo. Quindi, il risultato di zero sembra corretto in questo contesto.

Per quanto riguarda il secondo punto, se hai una curva regolare nel piano, puoi ottenere le equazioni parametriche della superficie da questa curva in diversi modi, a seconda di come desideri costruire la superficie.

Se vuoi costruire una superficie "estrudendo" la curva nel piano in una direzione specifica (ad esempio, lungo l'asse z), puoi semplicemente utilizzare le coordinate parametriche della curva come segue:

Se la curva è descritta dalle equazioni parametriche \(x = x(t)\) e \(y = y(t)\), allora puoi costruire le equazioni parametriche della superficie utilizzando la stessa coordinata \(z\) invariata nel tempo:

\[ z = z(t) \]

Dove \(z(t)\) è una funzione che rappresenta l'altezza della superficie rispetto al piano \(xy\), e può essere costante o variare in base a come desideri costruire la superficie.

Ad esempio, se vuoi una superficie piatta sopra la curva, puoi semplicemente impostare \(z\) come una costante. Se vuoi una superficie inclinata, puoi far variare \(z\) in base a \(x\) e/o \(y\) in modo che la superficie si innalzi o si abbassi lungo la curva.

Se hai bisogno di ulteriori dettagli o se il contesto è diverso, fammelo sapere e sarò felice di aiutarti ulteriormente!

Per calcolare il flusso del campo vettoriale attraverso la superficie, dobbiamo utilizzare il teorema della divergenza, che afferma che il flusso attraverso una superficie chiusa è uguale all'integrale triplo della divergenza del campo vettoriale all'interno del volume racchiuso dalla superficie stessa.

Se hai un campo vettoriale \(\vec{F}\) e una superficie \(S\) che delimita un volume \(V\), allora il flusso attraverso \(S\) è dato da:

\[
\Phi = \iiint_V \nabla \cdot \vec{F} \, dV
\]

Per orientare la superficie, dobbiamo trovare la normale alla superficie nel punto (1/2, 1/2, 1/2). La terza componente negativa della normale indica che la superficie deve essere orientata verso il basso nella direzione dell'asse z negativo.

Una volta che abbiamo determinato l'orientamento della superficie, possiamo calcolare la divergenza del campo vettoriale e quindi l'integrale triplo sopra il volume racchiuso dalla superficie per ottenere il flusso attraverso di essa.

Di regola risposta è questa