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[Risolto] Problema Iperbole

  

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Considera l'equazione $(a-2) x^2+3 a y^2=a-4$. Determina, se esistono, i valori di a per cui essa rappresenta:
a. un'ellisse;
b. un'iperbole;
c. un'ellisse con i fuochi sull'asse $x$;
d. un'iperbole con i fuochi sull'asse $y$;
e. una circonferenza;
f. un'iperbole equilatera;
g. un'ellisse avente i fuochi nei punti di coordinate $\left( \pm \sqrt{\frac{1}{2}}, 0\right)$;
h. un'iperbole avente i fuochi nei punti di coordinate $\left( \pm \sqrt{\frac{14}{3}}, 0\right)$;
i. un'iperbole avente per asintoti le rette di equazioni $x \pm \sqrt{3} y=0$;
j. un'ellisse passante per il punto di coordinate $(2,1)$.

20240523 225303
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1

Considerazione
Dove c'è un solo parametro io lo chiamo k.
Il fascio di coniche riferite ai propri assi
* Γ(k) ≡ (k - 2)*x^2 + 3*k*y^2 = k - 4
presenta alcuni casi particolari
1) Γ(0) ≡ x^2 = 2, parabola degenere su una coppia di parallele reali distinte (x = ± √2);
2) Γ(2) ≡ 6*y^2 + 2 = 0, parabola degenere su una coppia di parallele immaginarie distinte (y = ± i/√3);
3) Γ(4) ≡ x^2 + 6*y^2 = 0, ellisse reale degenere sull'origine;
e il caso generale, per k ∉ {0, 2, 4}
4) Γ(k) ≡ x^2/((k - 4)/(k - 2)) + y^2/((k - 4)/(3*k)) = 1
da cui leggere i semiassi (a, b) e la semidistanza focale (c)
* a = √(|(k - 4)/(k - 2)|)
* b = √(|(k - 4)/(3*k)|)
* per le ellissi c = √(||(k - 4)/(k - 2)| - |(k - 4)/(3*k)||)
* per le iperboli c = √(||(k - 4)/(k - 2)| + |(k - 4)/(3*k)||)
e che ha la forma normale standard delle coniche a centro non degeneri riferite ai propri assi
5) x^2/a^2 ± y^2/b^2 = ± 1, con a > 0 & b > 0
cioè
5a) x^2/a^2 - y^2/b^2 = - 1, iperbole coi fuochi sull'asse y, equilatera se a = b
5b) x^2/a^2 - y^2/b^2 = + 1, iperbole coi fuochi sull'asse x, equilatera se a = b
5c) x^2/a^2 + y^2/b^2 = - 1, ellisse immaginaria
5d) x^2/a^2 + y^2/b^2 = + 1, ellisse reale, circonferenza se a = b, e se no con
5d1) fuochi sull'asse x se a > b > 0
5d2) fuochi sull'asse y se b > a > 0
---------------
Applicando la distinzione di casi all'equazione
4) Γ(k) ≡ x^2/((k - 4)/(k - 2)) + y^2/((k - 4)/(3*k)) = 1
si ha
5a) ((k - 4)/(k - 2) < 0) & ((k - 4)/(3*k) > 0) ≡ ∄ k ∈ R
5b) ((k - 4)/(k - 2) > 0) & ((k - 4)/(3*k) < 0) ≡ 0 < k < 2
5b=) iperbole equilatera se
* ((k - 4)/(3*k) + (k - 4)/(k - 2) = 0) & (0 < k < 2) ≡
≡ ((k = 1/2) ∨ (k = 4)) & (0 < k < 2) ≡
≡ k = 1/2
5c) ((k - 4)/(k - 2) < 0) & ((k - 4)/(3*k) < 0) ≡ 2 < k < 4
5d) ((k - 4)/(k - 2) > 0) & ((k - 4)/(3*k) > 0) ≡ (k < 0) ∨ (k > 4)
5d1) fuochi sull'asse x se
* ((k - 4)/(k - 2) > (k - 4)/(3*k) > 0) & ((k < 0) ∨ (k > 4)) ≡ (k < - 1) ∨ (k > 4)
5d2) fuochi sull'asse y se
* ((k - 4)/(3*k) > (k - 4)/(k - 2) > 0) & ((k < 0) ∨ (k > 4)) ≡ - 1 < k < 0
5d=) circonferenza se
* ((k - 4)/(3*k) = (k - 4)/(k - 2) > 0) & ((k < 0) ∨ (k > 4)) ≡ k = - 1
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Risposte ai quesiti
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Quesiti a, c, e, g, j (ellissi)
a. ellisse: (k < 0) ∨ (2 < k < 4) ∨ (k > 4)
c. ellisse con i fuochi sull'asse x: (k < - 1) ∨ (k > 4)
e. circonferenza: k = - 1
g. ellisse con fuochi F(± 1/√2, 0):
* ((k < - 1) ∨ (k > 4)) & (c^2 = 1/2 = (k - 4)/(k - 2) - (k - 4)/(3*k)) ≡
≡ ((k + 2)*(k - 8)/(6*(k - 2)*k) = 0) & ((k < - 1) ∨ (k > 4)) ≡
≡ (k = - 2) ∨ (k = 8)
j. ellisse per P(2, 1): ((k < 0) ∨ (k > 4)) & ((k - 2)*2^2 + 3*k*1^2 = k - 4) ≡ ∄ k ∈ R
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Quesiti b, d, f, h, i (iperboli)
b. iperbole: 0 < k < 2
d. iperbole con i fuochi sull'asse y: 0 < k < 2
f. iperbole equilatera: k = 1/2
h. iperbole con fuochi F(± √(14/3), 0):
* (0 < k < 2) & (c^2 = 14/3 = (k - 4)/(k - 2) - (k - 4)/(3*k)) ≡
≡ ((k - 1/2)*(k - 4/3)/((k - 2)*k) = 0) & (0 < k < 2) ≡
≡ (k = 1/2) ∨ (k = 4/3)
i. iperbole con asintoti le rette y = ± x/√3:
* (0 < k < 2) & (b^2/a^2 = 1/3 = ((k - 4)/(3*k))/(- (k - 4)/(k - 2))) ≡
≡ (0 < k < 2) & ((k - 1)/k = 0) ≡
≡ k = 1

 



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