Ciao a tutti, potete aiutarmi nella risoluzione del seguente integrale:
$$\large{\int\frac{\arctan x}{x^2}\ dx}$$
Grazie
Ciao a tutti, potete aiutarmi nella risoluzione del seguente integrale:
$$\large{\int\frac{\arctan x}{x^2}\ dx}$$
Grazie
$$\int\frac{\arctan x}{x^2}\ dx$$
L'integrale si presenta come prodotto di due funzioni $\frac{1}{x^2}$ e $\arctan x$. La presenza di $\arctan x$ ci suggerisce l'integrazione per parti. Infatti, scegliendo come fattore finito $\frac{1}{x^2}$ (la cui primitiva è $-\frac{1}{x}$) e come fattore differenziale proprio $\arctan x$, otteniamo:
$$\int\frac{\arctan x}{x^2}\ dx=\int\frac{1}{x^2}\cdot \arctan x\ dx=-\frac{1}{x}\cdot \arctan x+\int \frac{1}{x}\frac{1}{1+x^2}\ dx$$
Quest'ultimo è un integrale di funzione razionale fratta risolvibile, dunque, con il metodo dei fratti semplici:
$$\frac{x}{1+x^2}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{1+x^2}=\frac{A+Ax^2+Bx^2+Cx}{x(1+x^2)}=\frac{(A+B)x^2+Cx+A}{x(1+x^2)}$$
Guardando il primo e l'ultimo membro della precedente serie di uguaglianze, per il principio d'identità dei polinomi, i coefficienti A, B, C devono soddisfare il seguente sistema:
$$\begin{cases} A+B=0\\ C=0\\ A=1\end{cases}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} B=-1\\ C=0\\ A=1\end{cases}$$
Sostituendo i valori di A, B e C trovati, possiamo riscrivere l'ultimo integrale come segue:
$$\int\frac{x}{1+x^2}\ dx=\int\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{-x}{1+x^2}\ dx=\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+c$$
Infine, il risultato finale sarà:
$$-\frac{1}{x}\cdot \arctan x+\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+c$$
Ho poco tempo, quindi ti imposto il calcolo. Io integrerei per parti, usando 1/x^2 come g'(x) e atan(x) come f(x). quidi dovrebbe tornare (-1/x)*atan(x)- int((1/x^2)*(1/(1+x^2))dx). Adesso l'integrale è polinominale fratto e dovrebbe essere abbordabile. Spero di non avere fatto errori, l'ho fatto a mente in fretta.
Ciao Sebastiano,
Ho provato così, senza però considerare situazioni in cui il denominatore si annulla...
Ad ogni modo, ecco:
Si vedono i passaggi, clickando su "Step by step solution" accanto al paragrafo "Indefinite integral", al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+arctg%28x%29%2Fx%5E2
Non posso farlo io al posto tuo perché "Step by step solution" è gratis solo per tre volte al giorno, poi si paga l'abbonamento: ed io non ho più l'età per la tariffa ridotta da studente.
Io suggerisco una trovata un pò balzana.
Se riesci a ricordarti che arctg x = pi/2 - arctg (1/x)
Potrai scrivere S [ pi/(2x^2) - 1/x^2 arctg (1/x) ] dx =
-
= - pi/(2x) + S arctg u du ( in cui u = 1/x e du = -1/x^2 dx )
= -pi/(2x) + S 1* arctg u du =
= -pi/(2x) + u arctg u - S 1/(1 + u^2) * u du =
= - pi/(2x) + 1/x arctg(1/x) - 1/2 S 2u /( u^2 + 1) du =
= -pi/(2x) + 1/x arctg (1/x) - 1/2 ln ( 1 + u^2 ) + C =
= -pi/(2x) + 1/x arctg (1/x) - 1/2 ln ( 1 + 1/x^2 ) + C