salve, qualcuno mi può aiutare a capire come si arrivi al passaggio evidenziato in rosso? Solo quella parte non mi è chiara, non riesco a capire i passaggi 🙁 che portano al risultato, grazie mille
salve, qualcuno mi può aiutare a capire come si arrivi al passaggio evidenziato in rosso? Solo quella parte non mi è chiara, non riesco a capire i passaggi 🙁 che portano al risultato, grazie mille
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Livello 0
Se risulta sfocato dall'antemprima, cliccate pure sull'immagine 🙂
∫(x·√((1 - x)/(1 + x))) dx
per sostituzione:
t = √((1 - x)/(1 + x))----> x = (1 - t^2)/(t^2 + 1)
dx = - 4·t/(t^2 + 1)^2*dt
Quindi la funzione integranda diviene:
(1 - t^2)/(t^2 + 1)·t·(- 4·t/(t^2 + 1)^2)=
= (4·t^4 - 4·t^2)/(t^2 + 1)^3
che, sviluppata, viene:
8/(t^2 + 1)^3 - 12/(t^2 + 1)^2 + 4/(t^2 + 1)
Quindi 3 integrali:
∫(8/(t^2 + 1)^3) dt = 3·ATAN(t) + t·(3·t^2 + 5)/(t^2 + 1)^2
∫(12/(t^2 + 1)^2) dt = 6·ATAN(t) + 6·t/(t^2 + 1)
∫(4/(t^2 + 1)) dt = 4·ATAN(t)
che portano a scrivere:
3·ATAN(t) + t·(3·t^2 + 5)/(t^2 + 1)^2 - (6·ATAN(t) + 6·t/(t^2 + 1)) + 4·ATAN(t) =
=ATAN(t) - t·(3·t^2 + 1)/(t^2 + 1)^2 =
=ATAN(t) - (3·t/(t^2 + 1) - 2·t/(t^2 + 1)^2)
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Genius III