[Risolto] Circonferenza

Ciao!

Per scrivere l'equazione di centro $ C(-3; 0)$ e raggio $ r = 5$ possiamo usare la formula generica della circonferenza:

$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 = r^2 $

che sostituendo i dati diventa:

$(x+3)^2 +y^2 = 5^2 $
$x^2+9+6x +y^2 = 25 $
$x^2 +y^2 +6x - 16 = 0$

Per trovare invece le tangenti condotte dal punto $P (7; 5) $ possiamo procedere così:

scriviamo la generica retta passante per $P$ usando l'equazione generica di una retta e sostituendo le coordinate del punto in esame:

$y = mx + q $
$5 = 7m +q \ \Rightarrow q = -7m + 5 $
da cui

$y =  mx-7m+ 5 $

Osserviamo che ovviamente manca un parametro da determinare, che troveremo imponendo la condizione di tangenza.

Effettuiamo l'intersezione tra questa retta generica e la circonferenza:

$\begin{cases} x^2 +y^2 +6x - 16 = 0 \\ y = mx -7m + 5 \end{cases} $

che ci porta all'equazione:

$x^2 +(mx -7m + 5)^2 +6x - 16 = 0 $

$x^2 (m^2+1) + x (-14m^2+10m+6) + 9 -70m+49m^2= 0$

che è un'equazione di secondo grado le cui soluzioni ci daranno i punti di intersezione tra la retta e la circonferenza. Noi vogliamo che essere siano tangenti, quindi ci sia un solo punto di intersezione.

Ciò si traduce con il fatto che l'equazione abbia una sola soluzione, cioè $\Delta = 0$. Questa è la condizione di tangenza.

$\Delta =(-14m^2+10m+6) ^2 - 4(m^2+1)(9 -70m+49m^2) = 0$

svogliamo i calcoli:

$49m^4 +25m^2+9-42m^2-70m^3+30m-9m^2+70m^3-49m^4-9+70m-49m^2 = 0 $

$ -75m^2 +100 m= 0 $

che ci dà come soluzioni: $m = 0 $
$ m = \frac{ 100 }{75} = \frac43 $

quindi le due rette tangenti sono 

retta 1: $y = \frac43 x-7\cdot \frac43+ 5 = \frac43 x -\frac{13}{3}$

retta 2: $y = 0 \cdot x-7\cdot 0 + 5= 5$ 

AMMUCCHIO DUE ISTANZE DELLO STESSO PROBLEMA PRESENTATE DALLA STESSA ALUNNA.
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1) N 196
Trova le equazioni delle rette tamgenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2+8x-2y-8=0 condotte dal punto P(1;0)
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2) N 198
Determina l'equazione della circonferenza di centro C(-3;0) e raggio 5 e scrivi le equazioni delle rette tangenti condotte dal punto P(7;5).
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A) Fase preliminare: ottenere la forma normale canonica della conica Γ alla quale condurre le tangenti dal polo P.
1) Γ1 ≡ x^2 + y^2 + 8*x - 2*y - 8 = 0
2) Γ2 ≡ (x + 3)^2 + y^2 = 5^2 ≡
≡ x^2 + y^2 + 6*x - 16 = 0
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B) Nella polarità indotta sul piano Oxy dalla conica
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*a*x - 2*b*y + c = 0
al polo P(u, v) corrisponde, per sdoppiamento, la retta polare
* p(Γ, P) ≡ u*x + v*y - a*(u + x) - b*(v + y) + c = 0 ≡
≡ (a - u)*x + (b - v)*y + (a*u + b*v - c) = 0
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Se P è interno a Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se P è sulla conica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se P è esterno a Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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C1) Con
* Γ1 ≡ x^2 + y^2 + 8*x - 2*y - 8 = 0
* P1(1, 0)
si ha
* (a, b, c) = (- 4, 1, - 8)
* (u, v) = (1, 0)
* p(Γ1, P1) ≡ (- 4 - 1)*x + (1 - 0)*y + (- 4*1 + 1*0 - (- 8))) = 0 ≡
≡ y = 5*x - 4
* (y = 5*x - 4) & (x^2 + y^2 + 8*x - 2*y - 8 = 0) ≡
≡ T1(8/13, - 12/13) oppure T2(1, 1)
* t1 ≡ P1T1 ≡ y = y = (12/5)*(x - 1)
* t2 ≡ P1T2 ≡ x = 1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2By%5E2%2B8*x-2*y-8%3D0%2C%285*x-4-y%29*%28%2812%2F5%29*%28x-1%29-y%29*%281-x%29%3D0%5D
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C2) Con
* Γ2 ≡ x^2 + y^2 + 6*x - 16 = 0
* P2(7, 5)
si ha
* (a, b, c) = (- 3, 0, - 16)
* (u, v) = (7, 5)
* p(Γ2, P2) ≡ (- 3 - 7)*x + (0 - 5)*y + (- 3*7 + 0*5 - (- 16)) = 0 ≡
≡ y = - 2*x - 1
* (y = - 2*x - 1) & (x^2 + y^2 + 6*x - 16 = 0) ≡
≡ T1(- 3, 5) oppure T2(1, - 3)
* t1 ≡ P2T1 ≡ y = 5
* t2 ≡ P2T2 ≡ y = (4*x - 13)/3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2By%5E2%2B6*x-16%3D0%2C%28-2*x-1-y%29*%285-y%29*%28%284*x-13%29%2F3-y%29%3D0%5Dx%3D-8to8

Ciao,

L'equazione  di una circonferenza dato il centro e raggio si esprime come:

$\left ( x-x_{C} \right )^2+\left ( y-y_{C} \right )^2=r^2 $

dove $( x_{C}, y_{C}$ sono le coordinate di centro C e r il raggio.

 

Sostituiamo i dati che ci sono dati per ottenere:

$\left ( x+3 \right )^2+\left ( y-0 \right )^2=5^2 $

 

Sviluppiamo i vari quadrati:

$x^2+6x+9+y^2=25$

Da cui si ottiene:

$x^2+y^2+6x+9-25=$0

$x^2+y^2+6x-16=$0

 

Ora consideriamo il fascio di rette per P

$y-5=m(x-7)$

$y-mx+7m-5=0$

$mx-y-7m+5=0$

e applichiamo la formula della distanza fra le rette e il centro C:

$d=\frac{|ax_{C}+by_{C}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-3m-7m+5|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{|-10m+5|}{\sqrt{m^2+1}}$

 

Poniamo tale distanza uguale al raggio e risolviamo l'equazione rispetto a m:

$\frac{|-10m+5|}{\sqrt{m^2+1}}=5\rightarrow(-10m+5)^2=25(m^2+1)$

$100m^2-100m+25=25m^2+25$

$100m^2-100m+25-25m^2-25=0$

$75m^2-100m=0$

$25m(3m-4)=0$

$m=0$ e$m=\frac{4}{3}$

 

Otteniamo due valori di m a cui corrispondono le due rette di equazione:

$0x-y-7(0)+5=0\rightarrow$$ y=5$

e

$\frac{4}{3}x-y-7\left (\frac{4}{3}  \right )+5=0 \rightarrow $

$4x-3y-28+15=0\rightarrow $

$4x+3y-13=0$

 

 

saluti ?