[Risolto] Circonferenza

Ciao,

 

L’equazione di una retta generica per P è

$ y = m(x -1) $

e cioè

$y = mx -m$

Mettiamola a sistema con l’equazione della circonferenza:

$\begin{cases}x^2+y^2+8x-2y-8=0\\ y=mx-m\end{cases}$

 

Troviamo l’equazione risolvente

$ x^2+\left(mx-m\right)^{2}+8x-2\left(mx-m\right)-8=0$

$ x^2+m^2x^2-2m^2x+m^2+8x-2mx+2m-8=0$

e riduciamo a forma normale:

$ (1+m^2)x^2+2(-m^2-m+4)x+m^2+2m-8 =0$

 

Poniamo la condizione di tangenza $\frac{\Delta }{4}=0$:

$\frac{\Delta }{4}=\left ( \frac{b}{2} \right )^{2}-ac$

 

$\left ( \frac{2(-m^2-2+4)}{2} \right )^{2} -(1+m^2)(m^2+2m-8)=0$

$( -m^2-2+4 )^{2} -(1+m^2)(m^2+2m-8)$

$(m^4+2m^3-7m^2-8m+16)-(m^4+2m^3-7m^2+2m-8)=0$

$m^4+2m^3-7m^2-8m+16-m^4-2m^3+7m^2-2m+8=0$

$-10m+24=0$

$10m=24$

$m=\frac{24}{10}=\frac{12}{5}$

$m=\frac{12}{5}$

 

Otteniamo un solo valore di m a cui corrisponde la retta di equazione:

$y=\frac{12}{5}x-\frac{12}{5}$

$5y=12x-12$

$12x-5y-12=0$

 

L'altra tangente deve essere parallela all'asse y e ha equazione

$ x = 1$

 

saluti 🙂

AMMUCCHIO DUE ISTANZE DELLO STESSO PROBLEMA PRESENTATE DALLA STESSA ALUNNA.
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1) N 196
Trova le equazioni delle rette tamgenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2+8x-2y-8=0 condotte dal punto P(1;0)
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2) N 198
Determina l'equazione della circonferenza di centro C(-3;0) e raggio 5 e scrivi le equazioni delle rette tangenti condotte dal punto P(7;5).
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A) Fase preliminare: ottenere la forma normale canonica della conica Γ alla quale condurre le tangenti dal polo P.
1) Γ1 ≡ x^2 + y^2 + 8*x - 2*y - 8 = 0
2) Γ2 ≡ (x + 3)^2 + y^2 = 5^2 ≡
≡ x^2 + y^2 + 6*x - 16 = 0
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B) Nella polarità indotta sul piano Oxy dalla conica
* Γ ≡ x^2 + y^2 - 2*a*x - 2*b*y + c = 0
al polo P(u, v) corrisponde, per sdoppiamento, la retta polare
* p(Γ, P) ≡ u*x + v*y - a*(u + x) - b*(v + y) + c = 0 ≡
≡ (a - u)*x + (b - v)*y + (a*u + b*v - c) = 0
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Se P è interno a Γ, p(Γ, P) non interessa il problema delle tangenti.
Se P è sulla conica Γ, p(Γ, P) è la tangente in P.
Se P è esterno a Γ, p(Γ, P) interseca Γ nei punti di tangenza delle tangenti condotte da P.
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C1) Con
* Γ1 ≡ x^2 + y^2 + 8*x - 2*y - 8 = 0
* P1(1, 0)
si ha
* (a, b, c) = (- 4, 1, - 8)
* (u, v) = (1, 0)
* p(Γ1, P1) ≡ (- 4 - 1)*x + (1 - 0)*y + (- 4*1 + 1*0 - (- 8))) = 0 ≡
≡ y = 5*x - 4
* (y = 5*x - 4) & (x^2 + y^2 + 8*x - 2*y - 8 = 0) ≡
≡ T1(8/13, - 12/13) oppure T2(1, 1)
* t1 ≡ P1T1 ≡ y = y = (12/5)*(x - 1)
* t2 ≡ P1T2 ≡ x = 1
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2By%5E2%2B8*x-2*y-8%3D0%2C%285*x-4-y%29*%28%2812%2F5%29*%28x-1%29-y%29*%281-x%29%3D0%5D
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C2) Con
* Γ2 ≡ x^2 + y^2 + 6*x - 16 = 0
* P2(7, 5)
si ha
* (a, b, c) = (- 3, 0, - 16)
* (u, v) = (7, 5)
* p(Γ2, P2) ≡ (- 3 - 7)*x + (0 - 5)*y + (- 3*7 + 0*5 - (- 16)) = 0 ≡
≡ y = - 2*x - 1
* (y = - 2*x - 1) & (x^2 + y^2 + 6*x - 16 = 0) ≡
≡ T1(- 3, 5) oppure T2(1, - 3)
* t1 ≡ P2T1 ≡ y = 5
* t2 ≡ P2T2 ≡ y = (4*x - 13)/3
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2%2By%5E2%2B6*x-16%3D0%2C%28-2*x-1-y%29*%285-y%29*%28%284*x-13%29%2F3-y%29%3D0%5Dx%3D-8to8

sia ax+by+c=0 l'equazione della generica retta. il fascio proprio di rette passante per P (1,0) ha pertanto equazione ax+by-a=0 (basta imporre il passaggio per P). Dall'equazione della circonferenza si ricava che il centro C ha coordinate C (-4, 1) e il raggio vale 5. Per trovare le rette tangenti è sufficiente imporre la distanza delle tangenti dal centro uguale al raggio. quindi abs(-4a + b - a)/radq(a^2+b^2) = 5. Ne consegue abs(b-5a)=radq(a^2+b^2)*5 --> b^2 + 25a^2 - 10ab = 25a^2 + 25b^2 --> 24b^2 +10ab=0 --> b*(12b+5a)=0. Quest'ultima ha soluzioni b=0 e a=-12b/5. andando a sostituire nel fascio di rette si ottiene, per b=0 --> ax-a=0, ovvero x=1; per a=-12b/5 -->-12bx/5 + by +12b/5 =0 --> -12x +5y +12=0 --> 12x - 5y -12 =0.