[Risolto] Studio del carattere di una serie numerica

La condizione sufficiente affinchè la serie possa convergere è banalmente soddisfatta:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}=0$$

Per determinare il carattere della serie data, è necessario usare il criterio di condensazione di Cauchy. Per poterlo applicare, verifichiamo che il termine generale della serie sia non crescente, ovvero:

$$a_{n+1}\le a_n\quad\forall n\in\mathbb N\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}\le\frac{1}{n\ln^2n}\quad\forall n\in\mathbb N$$

Banalmente vera per ogni n naturale. Possiamo studiare il carattere della serie $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^na_{2^n}$ ossia:

$$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^n\frac{1}{2^n\ln^2 2^n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{\ln^2 2^n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^2\ln^2 2}=\frac{1}{\ln^22}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$$

Poichè quest'ultima serie è la serie armonica con esponente 2 che è convergente, per il criterio di condensazione di Cauchy, anche la serie di partenza converge.

Ciao!

Per studiare il carattere di questa serie usiamo la generica serie armonica (modificata) che ci dice le seguenti cose:

$\sum_{i =2}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha} \log^{\beta}(n)} $

che:

• Converge per $\alpha > 1$ e $ \forall \ \beta$
• Converge per $\alpha = 1 $ e $\beta > 1$
• Diverge per $\alpha = 1 $ e $\beta \leq 1$
• Diverge per $\alpha < 1 $ e $\forall \beta$

Allora, la nostra serie ha $\alpha = 1$ e $\beta = 2$, per cui converge!