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[Risolto] Studio del carattere di una serie numerica

  

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Studiare il carattere della serie

$\sum\limits_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}$

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La condizione sufficiente affinchè la serie possa convergere è banalmente soddisfatta:

$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{1}{n\ln^2 n}=0$$

Per determinare il carattere della serie data, è necessario usare il criterio di condensazione di Cauchy. Per poterlo applicare, verifichiamo che il termine generale della serie sia non crescente, ovvero:

$$a_{n+1}\le a_n\quad\forall n\in\mathbb N\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{(n+1)\ln^2(n+1)}\le\frac{1}{n\ln^2n}\quad\forall n\in\mathbb N$$

Banalmente vera per ogni n naturale. Possiamo studiare il carattere della serie $\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^na_{2^n}$ ossia:

$$\sum\limits_{n=0}^{+\infty}2^n\frac{1}{2^n\ln^2 2^n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{\ln^2 2^n}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^2\ln^2 2}=\frac{1}{\ln^22}\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$$

Poichè quest'ultima serie è la serie armonica con esponente 2 che è convergente, per il criterio di condensazione di Cauchy, anche la serie di partenza converge.




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Ciao!

Per studiare il carattere di questa serie usiamo la generica serie armonica (modificata) che ci dice le seguenti cose:

$\sum_{i =2}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha} \log^{\beta}(n)} $

che:

  • Converge per $\alpha > 1$ e $ \forall \ \beta$
  • Converge per $\alpha = 1 $ e $\beta > 1$
  • Diverge per $\alpha = 1 $ e $\beta \leq 1$
  • Diverge per $\alpha < 1 $ e $\forall \beta$

Allora, la nostra serie ha $\alpha = 1$ e $\beta = 2$, per cui converge!

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