[Risolto] Esercizio funzione

La funzione è la seguente

 $y = 2x^2 + 3$

che graficamente rappresenta una parabola con la concavità verso l'alto

Dalla definizione di codominio si afferma che:

''Data una funzione $y = f(x)$, il codominio è l'insieme di tutti gli elementi $f(x)$ che sono immagini mediante la legge f di tutti i punti x appartenenti al dominio della funzione''

In altre parole, bisogna trovare la x in funzione di y:

$2x^2=y-3$

$x^2=\frac{y-3}{2}$

$x=\pm \sqrt{\frac{y-3}{2} }$

Quindi il codominio di una funzione fratta è dato dal denominatore diverso da zero il cui denominatore è formato solamente dall'intero 2 che è sempre diverso da 0.

Mentre per le condizioni della radice si ha:

$y-3\geq 0$ cioè $y\geq 3$

Quindi il codominio è $[3;+\infty )$

Ciao!

La risoluzione di questi esercizi prevede una specie di analisi del testo del problema. 

Gli indizi per trovare la funzione sono: "associa a x il doppio del suo quadrato aumentato di 3"

"il doppio"  di cosa?
"del suo quadrato"  quindi $2 \cdot x^2$

"aumentato di tre" quindi $2\cdot x^2 +3 $

quindi la funzione è $y = 2\cdot x^2 +3 $.

Calcoliamo il codominio. Esso è l'insieme di tutti i valori di $y$ che la funzione può assumere. Ovviamente, essi dipendono dai valori di $x$ che la funzione può assumere!

L'unica variabile è $x$, che però è al quadrato quindi è sempre positiva. 
$x^2$ può quindi assumere valori da $0$ (il minimo che può assumere) a $+\infty$ (il massimo che può assumere). 

Allora, nel caso in cui $x^2$ abbia valore minimo la funzione vale: $ y = 2 \cdot 0 + 3 = 3 $

nel caso in cui abbia valore massimo la funzione vale: $y = 2 \cdot \infty + 3 = + \infty $

quindi il codominio della funzione è $[3, +\infty)$