[Risolto] HELP! STUDIO DI FUNZIONE DI TERZO GRADO IRRIDUCIBILE!

"dato che il problema chiede espressamente anche le radici" mi pare che sia giocoforza applicare la procedura risolutiva di Tartaglia-Cardano, che si applica alla forma monica
* f(x) = x^3 + 3*p*x^2 + q*x + r = 0
---------------
NEL CASO IN ESAME
* f(x) = x^3 - 3*x^2 + 1 = 0
si ha
* p = - 1
* q = 0
* r = 1
------------------------------
A) Sostituire in f(x)
* x = (u - p)
* x^2 = (u - p)^2 = u^2 - 2*p*u + p^2
* x^3 = (u - p)^3 = u^3 - 3*p*u^2 + 3*u*p^2 - p^3
ottenendo
* p(u) = u^3 + (q - 3*p^2)*u + (2*p^3 + r - p*q)
---------------
NEL CASO IN ESAME
* p(u) = u^3 - 3*u - 1
------------------------------
B) Isolare il cubo
* f(x) = 0 ≡ p(u) = 0 ≡
≡ u^3 = (3*p^2 - q)*u + (p*q - 2*p^3 - r) ≡
≡ u^3 = 3*k*u + 2*h
dove
* h = (p*q - 2*p^3 - r)/2
* k = (3*p^2 - q)/3
---------------
NEL CASO IN ESAME
* h = 1/2
* k = 1
* u^3 = 3*u + 1
------------------------------
C) In quest'ultima forma (di Tartaglia, Del Ferro, Cardano) le tre radici in "u", {U1, U2, U3}, si ottengono combinando opportunamente le tre radici cubiche dell'unità
* {1; (- 1 - i*√3)/2; (- 1 + i*√3)/2}
con la radice cubica K del valore R
* R = h*(1 + √(1 - k^3/h^2))
cioè
* K = R^(1/3) = (h + √(h^2 - k^3))^(1/3)
con cui si formano le tre radici (almeno una reale, o tutt'e tre, ma non due)
* U1 = k/K + K
* U2 = - (1/2)*(k*(1 + i*√3)/K + K*(1 - i*√3))
* U3 = - (1/2)*(k*(1 - i*√3)/K + K*(1 + i*√3))
---------------
NEL CASO IN ESAME
* h = 1/2
* k = 1
* K = R^(1/3) = ((1 + i*√3)/2)^(1/3)
* U1 = 1/((1 + i*√3)/2)^(1/3) + ((1 + i*√3)/2)^(1/3) = 2*cos(π/9) ~= 1.879
* U2 = - (1/2)*(1*(1 + i*√3)/((1 + i*√3)/2)^(1/3) + ((1 + i*√3)/2)^(1/3)*(1 - i*√3)) =
= - ((√3)*sin(π/9) + cos(π/9)) ~= - 1.532
* U3 = - (1/2)*(1*(1 - i*√3)/((1 + i*√3)/2)^(1/3) + ((1 + i*√3)/2)^(1/3)*(1 + i*√3)) =
= (√3)*sin(π/9) - cos(π/9) ~= - 0.347
------------------------------
D) CONCLUSIONE
Gli zeri sono tutt'e tre reali e si presentano nell'ordine
* U2 = - ((√3)*sin(π/9) + cos(π/9)) ~= - 1.532
* U3 = (√3)*sin(π/9) - cos(π/9) ~= - 0.347
* U1 = 2*cos(π/9) ~= 1.879
==============================
LA VERIFICA fallisce, chi sa che cosa ho pasticciato e dove!
Vatti a guardare i valori approssimati nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3-3*x%5E2%2B1%3D0
Scusami se t'ho fatto leggere una procedura coi calcoli sbagliati.

Se fai la derivata prima trovi che la funzione ha un massimo relativo in (0,1) e un minimo relativo in (2,-3), quindi la funzione (continua e definita su tutto R) cresce per x<0, decresce per 0<x<2 e ricresce per x>2. Quindi uno zero è necessariamente negativo, uno sta fra 0 e 2 e uno è necessariamente >2. A questo punto potresti procedere con il metodo di bisezione o con quello di Newton (delle tangenti) se li sai, però non mi voglio addentrare in territori forse non conosciuti 🙂