[Risolto] Circonferenza URGENTEE

La parabola con Vertice in $V (-1; -5)$ e passante per $A(1;3)$.

Prendiamo una parabola generica: $y = ax^2+bx+c$

Sostituiamo $A$: $ 3 = a+b+c \Rightarrow c = 3-a-b$

Quindi $ y = ax^2+bx+3-a-b$

Le coordinate del vertice sono $(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a})$ quindi:

$\begin{cases} -\frac{b}{2a} = -1 \\ -\frac{\Delta}{4a}=-5 \end{cases} $

$\begin{cases} \frac{b}{2a} = 1 \\ -\frac{b^2-4ac}{4a}=-5 \end{cases} $

$\begin{cases} b=2a \\ -\frac{b^2-4a(3-a-b)}{4a}=-5 \end{cases} $

$\begin{cases} b=2a \\4a^2-4a(3-a-2a)=20 a \end{cases} $

$4a^2-4a(3-a-2a)=20 a$

$4a^2-4a(3-3a)=20 a$

$4a^2-12a +12a^2-20a = 0 $

$16a^2 -32a = 0 $

$16a (a-2) = 0  \Rightarrow a = 0 \vee a = 2 \Rightarrow a = 2$

Perché se $a = 0$ non abbiamo una parabola ma una retta. Quindi:

$b = 2\cdot 2 = 4 $ e $c = 3-2-2 = -1$ 

Quindi la parabola che cerchiamo è $ y = 2x^2+4x-1$

Intersechiamo la parabola con la retta $4x+y+9=0 \Rightarrow y = -4x-9$, ottenendo:

$-4x-9 = 2x^2+4x-1$

$ 2x^2+8x+8 = 0 $

$x^2+4x+4 = 0 $

$(x+2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2 $

Da cui $ y = -4(-2)-9 = 8-9 = -1 $

L'unico punto di intersezione tra la parabola e la retta è $(-2; -1)$ quindi la retta è tangente alla parabola. La circonferenza che ha come diametro questi punti di intersezione, avendo diametro nullo è una circonferenza degenere con centro nel punto di tangenza cioè $(-2; -1)$

 

Ogni parabola con:
* asse di simmetria parallelo all'asse y;
* apertura a != 0;
* vertice V(w, h);
ha equazione della forma
* Γ(a, w, h) ≡ y = a*(x - w)^2 + h
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Fra esse, tutte quelle con vertice V(- 1, - 5) sono
* Γ(a) ≡ y = a*(x + 1)^2 - 5
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Fra esse, l'unica che passa per A(1, 3) ha l'apertura determinata dalla condizione
* 3 = a*(1 + 1)^2 - 5 ≡ a = 2
cioè è
* Γ ≡ y = 2*(x + 1)^2 - 5
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La retta
* r ≡ 4*x + y + 9 = 0 ≡ y = - 4*x - 9
interseca Γ nelle soluzioni del sistema
* r & Γ ≡ (y = - 4*x - 9) & (y = 2*(x + 1)^2 - 5) ≡
≡ P(- 3, 3) oppure Q(- 1, - 5)
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Il segmento PQ ha
* lunghezza |PQ| = 2*r = 2*√17
* punto medio C(- 2, - 1)
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La circonferenza richiesta ha equazione
* (x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 17
e la rappresentazione grafica è al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D2*%28x%2B1%29%5E2-5%2Cy%3D-4*x-9%2C%28x%2B2%29%5E2%2B%28y%2B1%29%5E2%3D17%5Dx%3D-7to3%2Cy%3D-6to4