[Risolto] Aiuto matematica urgente

Considera la funzione f(x) = x^3·(x - 2) individuane il numero di intersezioni con l'asse delle x, i massimi ed i minimi,  gli eventuali flessi e la concavità

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Polinomio di 4° grado : y = x^4 – 2·x^3 definito e continuo insieme alle sue derivate su tutto R è illimitato superiormente:

LIM(x^4 - 2·x^3) = + ∞ ;

x---> -∞

LIM(4·x^3 – 6·x^2) = +∞

x---> +∞

Per tali ragioni deve ammettere un minimo assoluto e relativo ( eventualmente un massimo relativo)

In quanto definita dal prodotto di due fattori, per la legge dell’annullamento di un prodotto si annullerà in x=0, quindi passerà per l’origine che sarà pure intersezione con asse delle y oltre che delle x. Altra intersezione con asse delle x sarà in x=2

Studio della crescenza e decrescenza

y = x^4 – 2·x^3------ > y’=4·x^3 – 6·x^2

y’>0 se 4·x^3 - 6·x^2 > 0 ---- > 2·x^2·(2·x – 3) > 0

quindi x > 3/2 in tale tratto f(x) cresce

y’<0 se x ≠ 0 ∧ x < 3/2

quindi in tale tratto la f(x) decresce, risultando stazionaria il x=0 in cui si ha flesso a tangente orizzontale

y’=0 se x = 3/2 ∨ x = 0

per x=3/2 si ha un minimo relativo ed assoluto

ymin = (3/2)^4 – 2·(3/2)^3--- > y min = - 27/16

Studio della concavità (convessità)

y’’ =12·x^2 – 12·x

y’’> 0 se x < 0 ∨ x > 1

il tali tratti la concavità risulta essere verso l’alto (in particolare si conferma un minimo per x=3/2)

y’’<0 se 0 < x < 1

qui la f(x) presenta concavità verso il basso

y’’=0 se x = 1 ∨ x = 0

in cui si hanno flessi: a tangente obliqua per x=1 e a tangente orizzontale per x=0

Mo me lo segno (© Massimo Troisi) e ne riparliamo a scuola chiusa.
Il 25 marzo 2021, nel corso dell'operazione «110 e frode», la Guardia di Finanza di Genova ha ARRESTATO un Professore e denunciato VENTIDUE studenti che stavano facendo proprio quello che tu stai chiedendo.
Loro erano tutti maggiorenni, ma tu lo sei?
Magari fai denunciare i tuoi genitori!
Ad ogni buon conto se qualcuno ti risponde nel merito in orario scolastico io segnalo alla Polizia Postale il suo link e il tuo; vi localizzano in 34 secondi.

 

SECONDA RISPOSTA
Curiosità: il tuo correttore ortografico non ha nulla da dirti sulla "á" che in italiano non esiste?
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Promemoria
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Il segno della derivata prima distingue l'andamento della funzione
* f'(x) < 0: in x la funzione è decrescente
* f'(x) = 0: in x la funzione è stazionaria
* f'(x) > 0: in x la funzione è crescente
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Il segno della derivata seconda distingue la concavità della funzione
* f''(x) < 0: in x la funzione è concava
* f''(x) = 0: in x la funzione ha un flesso
* f''(x) > 0: in x la funzione è convessa
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Una possibile classificazione delle ascisse notevoli è la seguente.
* f(x) = 0: x è un punto comune con l'asse x (tangenza e/o intersezione; entrambe se è un flesso orizzontale.).
* f'(x) = 0: x è un punto a tangente orizzontale (estremo relativo o flesso).
* f''(x) = 0: x è un punto di flesso.
* (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0): è un punto di massimo relativo
* (f'(x) = 0) & (f''(x) = 0): è un punto di flesso a tangente orizzontale
* (f'(x) = 0) & (f''(x) = 0): è un punto di minimo relativo
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Esercizio
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La funzione
* f(x) = y = (x - 2)*x^3
ha uno zero triplo nell'origine e uno semplice in x = 2: due intersezioni.
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Derivate
* f'(x) = 2*(2*x - 3)*x^2
* f''(x) = 12*(x - 1)*x
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Estremi e flessi
* f'(x) = 0 ≡ (x = 0) oppure (x = 3/2)
* f''(x) = 0 ≡ (x = 0) oppure (x = 1)
* f'(1) = 2*(2*1 - 3)*1^2 = - 2
* f''(3/2) = 12*(3/2 - 1)*3/2 = 9 > 0
quindi
1) lo zero nell'origine è anche un flesso a tangente orizzontale; quello in x = 1 è in decrescenza;
2) in x = 3/2 c'è l'unico minimo relativo;
3) non ci sono massimi relativi.
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Concavità
* 0 < x < 1: f''(x) < 0, f(x) è concava
* (x < 0) oppure (x > 1): f''(x) > 0, f(x) è convessa