fisica moto del proiettile

Una palla cade dal quarto piano di un edificio alto h 15 m. Dopo t = 1 s dall'inizio della caduta della prima palla, una seconda palla è lanciata dal suolo verso l'alto con velocità iniziale Vo pari a 12 m/s. Calcola dopo quanto tempo t'' dall'inizio della caduta della prima palla e a quale altezza h' dal suolo le due palle si incontrano.

h = 15 = g/2(t+t')^2+Vo*t'-g/2*t'^2

15 = 4,9033(1+t')^2+12*t'-4,9033*t'^2

15 = 4,9033+4,9033*t'^2+9,8066t'+12t'-4,9033t'^2

4,9033*t'^2 si semplifica 

15 = 4,9033+21,8066t'

t' = (15-4,9033)/21,8066 = 0,4630 s 

t'' = t+t' = 1+0,4630 = 1,4630 s

altezza da terra h' = 15-4,9033*t''^2

h' = 15-4,9033*1,4630^2 = 4,505 m 

h' = 12*0,4630-4,9033*0,4630^2 = 4,505 m 

Una palla cade dal quarto piano di un edificio alto 15 m. Dopo 1 s dall'inizio della caduta della prima palla, una seconda palla è lanciata dal suolo verso l'alto con velocità iniziale pari a 12 m/s. Calcola dopo quanto tempo dall'inizio della caduta della prima palla e a quale altezza dal suolo le due palle si incontrano.

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Calcola il tempo per l'incontro eguagliando l'altezza dal suolo:

$\small 15-\dfrac{g(t+1)^2}{2} = v_{0y}·t-\dfrac{gt^2}{2}\quad$ $\small ^{(1)}$

$\small 15-\dfrac{g(t^2+2t+1)}{2} = 12t-\dfrac{gt^2}{2}$ 

$\small 30-(gt^2+2gt+g) = 24t-gt^2$

$\small 30-gt^2-2gt-g = 24t-gt^2$

$\small -\cancel{gt^2}+\cancel{gt^2}-2gt-24t = -30+g$

$\small -2gt-24t = -30+g$

$\small -43,6133t = -20,19335$

$\small t= \dfrac{-20,19335}{-43,6133}$

$\small t= 0,463\,s$

quindi il tempo richiesto è: $\small = t+1 = 0,463+1 = 1,463\,s;$

poi per l'altezza reimposta l'equazione con il dato trovato: 

$\small 15-\dfrac{g(0,463+1)^2}{2} = 12×0,463-\dfrac{g×0,463^2}{2}$

$\small 15-\dfrac{g×1,463^2}{2} = 5,556-1,05112$

$\small 15-10,49492 = 4,505$

$\small 4,505 = 4,505$

per cui l'altezza dal suolo dove si incontrano è $\small h\approx{4,5}\,m.$

Note:

$\small ^{(1)}: g= 9,80665\,m/s^2$ (accelerazione di gravità). 

moto di P1

y1(t) = H - 1/2 g t^2

moto di P2

y2(t) = vo (t - 1) - 1/2 g (t - 1)^2

Se T é l'istante in cui si incontrano

H - g/2 T^2 = vo(T - 1) - g/2(T - 1)^2

15 - 12(T - 1) = g/2 (T^2 - T^2 + 2T - 1)

27 - 12 T = 9.806 T - 4.903

21.806 T = 31.903

T = 1.463 s ( cronometro millesimale )

e y* = (15 - 4.903 * 1.463^2) m ~ 4.51 m