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[Risolto] Esercizio sulla parabola

  

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1) Data la parabola con V (3 , 4) e tangente a y-2x+1=0 inscrivi nella parte di piano individuata dalla curva e dall’asse x un rettangolo con la base doppia dell’altezza.

2) Determina l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x e con V (1 , 2) e tangente a y=x e che ha ordinata pari a 3 quando l’ascissa é nulla.

Grazie.

Autore

Un esercizio alla volta prego.

1 Risposta
0

Utente faidatè? Ahi, ahi, ahi, ahi, ahi!
Te lo devi leggere il
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
del sito!
Ormai è passata una settimana, è inammissibile che pubblichi due esercizi in una domanda e senza dire che cosa hai fatto e per quale difficoltà chiedi aiuto.
Tanto meno dire "... i punti “c” e “d” del numero 257" senza trascrivere il testo del #257.
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Pubblicare a secco, ma anche dire "non so davvero risolverlo", nella migliore delle ipotesi significa che non hai studiato abbastanza bene la teoria prima d'affrontare il primo esercizio; ma più probabilmente significa "Ci sarà un fesso che mi svolge il compito pronto da copiare, no?"
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Inoltre devi trascrivere ogni parola della consegna: se non hai capito come fare perché pensi di saper riassumere ciò che non hai capito? Si tratta di follia pura!
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ESEMPIO: es. #1 di http://www.sosmatematica.it/forum/postid/19394/
1) Data la parabola con vertice V(3, 4) e tangente la retta y - 2*x + 1 = 0
inscrivi nella parte di piano individuata dalla curva e dall'asse x
un rettangolo con la base doppia dell'altezza.
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E' falso che sia "Data la parabola" in quanto: non è data per nulla; le due specificazioni sono insufficienti a determinarne una sola. Anche aggiungendone ARBITRARIAMENTE una terza (che abbia due intersezioni con l'asse x, per poter "individuare" una superficie finita; il che non è affatto evidente!) il testo rimane quello di un problema indeterminato per carenza di vincoli.
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La generica equazione di una parabola Γ ha cinque parametri
* Γ ≡ (h*x + k*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
La condizione di tangenza con una retta "t" è l'annullarsi del discriminante Δ dell'equazione risolvente del sistema "t & Γ".
Per applicare la seconda specificazione si scrive
* t & Γ ≡ (y = 2*x - 1) & ((h*x + k*y)^2 + a*x + b*y + c = 0)
con risolvente
* (h*x + k*(2*x - 1))^2 + a*x + b*(2*x - 1) + c = 0 ≡
≡ ((h + 2*k)^2)*x^2 + ((a + 2*b - 2*k*(h + 2*k)))*x + k^2 - b + c = 0
e discriminante
* Δ = a^2 + 4*(b - k*(h + 2*k))*a + 4*(b^2 + b*h*(h + 2*k) - c (h + 2*k)^2)
che s'annulla per
* c = (a^2 + 4*a*(b - k*(h + 2*k)) + 4*b*(b + h*(h + 2*k)))/(4*(h + 2*k)^2)
riducendo a quattro i parametri ancora liberi.
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Il punto di tangenza T così ottenuto è
* t & Γ ≡ T(xT, yT)
con
* xT = (- a - 2*b + 2*h*k + 4*k^2)/(2*(h + 2*k)^2)
* yT = (- a - 2*b - 2*h*k - h^2)/(h + 2*k)^2
* h + 2*k != 0
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I CALCOLI SUCCESSIVI NON TE LI MOSTRO, mi limito a descriverli.
1) determinare la pendenza dell'asse di simmetria (- h/k)
2) determinare la pendenza della tangente di vertice (k/h)
3) scrivere il fascio improprio di tale pendenza (y = h*x/h + q)
NB: con ciò s'introduce un quinto parametro (q)
4) rifare tutto l'ambaradam della tangenza eliminando così il parametro q e trovando le espressioni di V(xV, yV)
5) eguagliare V(xV, yV) col dato V(3, 4) determinando così altri due parametri
6) fare sistema fra l'asse x (y = 0) e Γ imponendo che il discriminante della risolvente sia reale positivo così lasciando un solo parametro libero
7) nelle infinite parabole risultanti inscrivere il rettangolo
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A CONFRONTO CON QUEST'ORGIA DI CALCOLI NON E' ASSAI MEGLIO SCRIVERE TUTTI I DETTAGLI DELLA CONSEGNA? A me parrebbe nettamente di sì!

 

Per prima cosa, l'equazione della parabola non è data. Solo il suo vertice e una condizione di tangenza non sono tali per definire un'equazione come data. Comunque, partiamo dal determinare l'equazione della parabola attraverso la condizione di tangenze e le informazioni fornite riguardo al vertice. Mettendo a sistema l'equazione della retta data con l'equazione generica di una parabola con asse parallelo all'asse y, otteniamo la seguente equazione risolvente: ax²+bx+c=2x-1. Affinché la condizione di tangenza sia verificata dobbiamo porre il discriminate dell'equazione uguale a 0. Otteniamo: (b-2)²-4a(c+1)=0

Per ora lasciamo ciò da parte e creiamo un sistema in cui troviamo le equazioni che determinano le coordinate del vertice della parabola. Esse saranno:

b=-6a      e         -delta=16a

Da quest'ultima equazione otteniamo -b²+4ac=16a.

Sapendo ciò possiamo sostituire b e -4ac nell'equazione risolvete del sistema di prima. Dopo alcune semplificazioni torniamo che a=-1.

Utilizzando le altre equazione del sistema troviamo gli altri coefficienti della parabola, ovvero b=6 e c=-5.

Purtroppo non so come aiutarti per il resto del problema ma spero di esserti stato utile.

-Bilvio Serlusconi

ciao bilvio ti ringrazio davvero!

 






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