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[Risolto] Esercizio di matematica

  

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Una nave parte da un porto (indicato con il punto A in figura) e si nuove in linea retta, lungo una direzione che forma un angolo di 60° con la costa, alla velocità di 30 km/h. Un'ora più tardi la nave partita segnala un'avaria, che le consente comunque di continuare a navigare sulla sua rotta alla velocità stabilita, ma richiede la sostituzione di un pezzo entro 24 ore. Immediatamente parte una seconda nave da un porto B, posto lungo la costa a 120 km da A, in soccorso della nave in difficoltà. La nave partita da B viaggia anch'essa in linea retta, alla velocità di 30 km/h.

a. Dopo quanto tempo la nave partita da B incontra la nave in avaria?

b. La rotta seguita dalla nave B quale angolo a forma con la linea costiera?

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Scusate ragazzi ma ho bisogno di una mano per il numero 30,martedi ho una interrogazione si questo problema ma non riesco. In teoria ciò andrebbe risolto con il teorema del coseno ma non mi viene

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moto lungo l'asse X (chiamo a il seno dell'angolo α)

30*sin 60*t = 30*sin x*(t-1)

15√3 *t = 30*a*t-30*a

15*t*(2a-√3) = 30a

moto lungo l'asse Y (chiamo b il coseno dell'angolo α)

120-30*cos 60*t = 30*b*(t-1)

120-15*t = 30*b*t-30*b

15t*(2*b+1) = 120+30b  

 

metto le  equazioni de due moti a sistema 

{15*t*(2a-√3) = 30a

{15*t*(2*b+1) = 120+30b 

e noto che facendone il rapporto posso semplificare 15*t 

(2*a-√3)*(120+30*b) = 30*a*(2*b+1)

210*a = 207,846+51,962*b

divido tutti i termini per 51,962 

4,0415*a = 4,0000+b

sostituisco b con √1-a^2

(4,0415*a - 4,0000)^2 = 1-a^2

16,333*a^2+16-32,332*a = 1-a^2

17,333a^2-32,332*a+15 = 0 

a = (32,332+√32,332^2-60*17,333)/(17,333*2) = 0,99940 = sin x

cos x = 0,03452

angolo α = arctan 0,99940/0,03452 = 88,02°

tempo t = 30a /(15*(2a-√3) = 7,493 h 

 

@Andreasj ...altro che teorema del coseno😉

@remanzini_rinaldo veramente la ringrazio immensamente



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Lo svolgo con i vettori, in un modo un pò sui generis

Le distanze sono misurate in km, i tempi in ore.

La velocità della nave che parte da A é espressa da

 

 vA = 30*(cos (-30°) i + sin(-30°) j ) = 30 (rad(3)/2 i - 1/2 j)

La velocità della nave che parte da B invece corrisponde al vettore

vB = 30*( cos (90° - a) i + sin (90° - a) j ) = 30 ( sin a i + cos a j )

 

Se si pone l'origine in B l'uguaglianza delle posizioni al tempo t incognito

si traduce nella relazione ( la nave partita in B ha viaggiato per t - 1 ore ) :

 

120 j + 30 t ( rad(3)/2 i - 1/2 j ) = 30 (t - 1) ( sin a i + cos a j)

Dividendo per 4 e proiettando sugli assi risulta allora

{ t rad(3)/2 = (t - 1) sin a      ( su i )

{ 4 - t/2 = (t - 1) cos a          ( su j )     (*)

per cui

 

sin a = t/(t-1) * rad(3)/2

cos a = (4 - t/2)/(t-1)

quadrando e sommando

 

sin^2 (a) + cos^2(a) = 3/4 t^2/(t-1)^2 + (16 + t^2/4 - 4t )/(t - 1)^2

1*(t-1)^2 = t^2 - 4t + 16

t^2 - 2t + 1 = t^2 - 4t + 16

4t - 2t = 16 - 1

2t = 15

t = 15/2 h = 7h 30 min

 

Sostituendo infine nella (*) t = 7.5 risulta anche

4 - 7.5/2 = 6.5 cos a

26 cos a = 16 - 15

cos a = 1/26

a = arccos*(1/26) = 87° 47' 44''.8, circa 88°



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