[Risolto] Esercizio di matematica

moto lungo l'asse X (chiamo a il seno dell'angolo α)

30*sin 60*t = 30*sin x*(t-1)

15√3 *t = 30*a*t-30*a

15*t*(2a-√3) = 30a

moto lungo l'asse Y (chiamo b il coseno dell'angolo α)

120-30*cos 60*t = 30*b*(t-1)

120-15*t = 30*b*t-30*b

15t*(2*b+1) = 120+30b  

 

metto le  equazioni de due moti a sistema 

{15*t*(2a-√3) = 30a

{15*t*(2*b+1) = 120+30b 

e noto che facendone il rapporto posso semplificare 15*t 

(2*a-√3)*(120+30*b) = 30*a*(2*b+1)

210*a = 207,846+51,962*b

divido tutti i termini per 51,962 

4,0415*a = 4,0000+b

sostituisco b con √1-a^2

(4,0415*a - 4,0000)^2 = 1-a^2

16,333*a^2+16-32,332*a = 1-a^2

17,333a^2-32,332*a+15 = 0 

a = (32,332+√32,332^2-60*17,333)/(17,333*2) = 0,99940 = sin x

cos x = 0,03452

angolo α = arctan 0,99940/0,03452 = 88,02°

tempo t = 30a /(15*(2a-√3) = 7,493 h 

 

Lo svolgo con i vettori, in un modo un pò sui generis

Le distanze sono misurate in km, i tempi in ore.

La velocità della nave che parte da A é espressa da

 

 vA = 30*(cos (-30°) i + sin(-30°) j ) = 30 (rad(3)/2 i - 1/2 j)

La velocità della nave che parte da B invece corrisponde al vettore

vB = 30*( cos (90° - a) i + sin (90° - a) j ) = 30 ( sin a i + cos a j )

 

Se si pone l'origine in B l'uguaglianza delle posizioni al tempo t incognito

si traduce nella relazione ( la nave partita in B ha viaggiato per t - 1 ore ) :

 

120 j + 30 t ( rad(3)/2 i - 1/2 j ) = 30 (t - 1) ( sin a i + cos a j)

Dividendo per 4 e proiettando sugli assi risulta allora

{ t rad(3)/2 = (t - 1) sin a      ( su i )

{ 4 - t/2 = (t - 1) cos a          ( su j )     (*)

per cui

 

sin a = t/(t-1) * rad(3)/2

cos a = (4 - t/2)/(t-1)

quadrando e sommando

 

sin^2 (a) + cos^2(a) = 3/4 t^2/(t-1)^2 + (16 + t^2/4 - 4t )/(t - 1)^2

1*(t-1)^2 = t^2 - 4t + 16

t^2 - 2t + 1 = t^2 - 4t + 16

4t - 2t = 16 - 1

2t = 15

t = 15/2 h = 7h 30 min

 

Sostituendo infine nella (*) t = 7.5 risulta anche

4 - 7.5/2 = 6.5 cos a

26 cos a = 16 - 15

cos a = 1/26

a = arccos*(1/26) = 87° 47' 44''.8, circa 88°