[Risolto] problema trigonometria

Sia $OC=x$. 

Dalla traccia deduciamo che $OD=OB=2OC = 2x$ e $AO=4OC = 4x$.

Traccio il segmento DH perpendicolare a OA. Il triangolo ODH ha angoli di 30° e 60° per costruzione, dunque per le proprietà di tali triangoli abbiamo che:

$OH = OD/2 = x$

e 

$ DH = DO sin60 = 2x \sqrt{3}/{2} = \sqrt{3} x$

Applicando Pitagora sul triangolo rettangolo CHD abbiamo dunque:

$ CD = \sqrt{CH^2 + HD^2} = \sqrt{(2x)^2 + (\sqrt{3} x)^2} = \sqrt{4x^2 + 3x^2} = x \sqrt{7}$

dove $CH = CO+OH = x+x$

Passiamo nel triangolo DHA dove $HA = OA-OH = 3x$ e applichiamo di nuovo Pitagora:

$ AD = \sqrt{HA^2 + HD^2} = \sqrt{(3x)^2 + (\sqrt{3} x)^2} = \sqrt{9x^2 + 3x^2} = 2\sqrt{3} x$

Ancora Pitagora su COB:

$ CB = \sqrt{BO^2 - CO^2} = \sqrt{(2x)^2 - x^2} = \sqrt{3} x$

e infine su CBA:

$ BA = \sqrt{CB^2 + CA^2} = \sqrt{(\sqrt{3} x)^2 + (5x)^2} = 2\sqrt{7} x $

Il perimetro è dunque:

$ AB+BC+CD+DA = 9(\sqrt{7}+ \sqrt{3})$

$ 2\sqrt{7} x +\sqrt{3} x+\sqrt{7} x+2 \sqrt{3} x = 9(\sqrt{7}+ \sqrt{3})$

$ x(3 \sqrt{7} +3 \sqrt{3}) = 9(\sqrt{7}+ \sqrt{3})$

$ x = \frac{9(\sqrt{7}+ \sqrt{3})}{3(\sqrt{7} +\sqrt{3})} = 3 $

Dunque ricaviamo che le diagonali sono:

$ AC = 5x = 15 cm$

$ BD = 4x = 12 cm$

 

Noemi