Il trapezio rettangolo ABCD con base maggiore AB, è circoscritto a una semicirconferenza di diametro AD=4. Posto l'angolo ABC=x, trova l'area S(x)=16/3 sqrt 3
Risultato: S(x)=8/senx; x=60°
La soluzione che cerco è quella sfruttando le varie regole dei triangoli rettangoli. Grazie in anticipo
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@bismark La traccia non è sbagliata. Quell'8 non c'è. L'errore sta nell'aver utilizzato una proprietà dei quadrilateri circoscritti ad una circonferenza in un contesto in cui invece si parla di semicirconferenza. Nel primo caso vale la proprietà che la somma dei lati opposti si equivalgono ma basta ribaltare la figura attorno all'asse passante per il lato opposto a quello obliquo per accorgersi facilmente che nel nostro caso la somma delle due basi del trapezio è uguale al lato obliquo soltanto. Pertanto, non è
AB+CD=AD+BC=4+ 4/SIN(β) bensì
AB+CD=BC=4/SIN(β)
Da qui
S=1/2·(4+4/SIN(β))·4 =8/SIN(β) + 8
è sostituita da
S=1/2·(4/SIN(β))·4 =8/SIN(β)
8/SIN(β) = 16·√3/3
1/SIN(β) = 2·√3/3
SIN(β) = 3/2√3 = √3/2
β = 60°
Ciao di nuovo.
Con riferimento alla figura allegata, possiamo dire che:
S=1/2*(AB+CD)* AD
Chiamo con β l'angolo in B anziché x. Quindi otterremo S = S(β).
Il trapezio si scompone in un rettangolo AHCD ed in un triangolo rettangolo HBC retto in H.
Con riferimento al triangolo rettangolo possiamo dire che:
CH=AD=4 poi TAN(β) = CH/HB--------> HB= CH/TAN(β) = 4/TAN(β)
BC=CH/SIN(β)= 4/SIN(β)
Ora, per una nota proprietà dei quadrilateri circoscritti ad una circonferenza, abbiamo:
AB+CD=AD+BC=4+ 4/SIN(β)
Quindi abbiamo:
S=1/2·(4 + 4/SIN(β))·4 = 8/SIN(β) + 8 (ottengo un 8 in più che tu non hai messo)
Quindi si tratterà di risolvere l'equazione trigonometrica:
8/SIN(β) + 8 = 16·√3/3 + 8 (l’ho aggiunto perché sicuramente mancante nella traccia data!)
Che fornisce soluzione: β = pi/3 = 60°
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Genius II
@lucianop Grazie davvero, con questo argomento sto avendo problemi e grazie a lei sto facendo finalmente un pò di chiarezza.
Ciao. Mi fa molto piacere quello che hai appena detto! 😊
chiamato Θ l'angolo in B
MT = r = MB*sin Θ
MB = r/sin Θ
BC*sin Θ = r
BC = r/sin Θ
MB = BC
AB = r/sin Θ + r
BT = MB*cos Θ = r/sin Θ*cos Θ = r*cotan Θ
CT = CK = r/sin Θ - r*cos Θ/sin Θ = r/sin Θ (1-cos Θ)
perimetro 2p = r/sin Θ(2+(1-cos Θ))+3r
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Genius II
