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Aiuto con problema di trogonometria

  

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Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano a risolvere questo problema grazie in anticipo!

 Il triangolo ABC ha i lati AB e AC lunghi rispettivamente b e 3√3b e l'area uguale a √3/2b^2. Calcolare l'area del triangolo isoscele ACD avente per base AC e angolo alla base BAC.

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S(ABC)=√3/2·b^2 = 1/2·b·(3·√3·b)·SIN(α)

Risolvendo :  SIN(α) = 1/3

TAN(α) = 1/3/√(1 - (1/3)^2)-----> TAN(α) = √2/4

Quindi:

√2/4 = ΗD/(1/2·3·√3·b) ( vedi figura)

ΗD = √2/4·(1/2·3·√3·b)

ΗD = 3·√6·b/8 =altezza triangolo isoscele ACD relativa base AC

A(ACD)= 1/2·(3·√3·b)·(3·√6·b/8)----> Α(ACD) = 27·√2·b^2/16

 



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Posto BAC^ = a,

possiamo scrivere che

S[ABC] = 1/2 AB * AC sin a

ovvero  1/2 b * 3 rad(3) b * sin a = 1/2 rad(3) b^2

per cui 3 sin a = 1 =>  sin a = 1/3.

Consideriamo poi il triangolo ACD. In esso, per il Teorema di Carnot

e posto AD = L,

(3 rad(3) b)^2 = L^2 + L^2 - 2 L^2 cos (pi - 2a)

27 b^2 = 2 L^2 + 2 L^2 cos 2a = 2 L^2 (1 + cos 2a) = 4 L^2 cos^2 (a)

cos^2(a) = 1 - (1/3)^2 = 8/9

 

4 L^2 * 8/9 = 27 b^2

L^2 = 243/32 b^2

L = rad (486/64 b^2) = 9/8 b rad(6)

S[ACD] = 1/2 * 3 rad(3) b * 9/8 b rad(6) * 1/3 = 9/16 b^2 rad(18) =

= 27/16 b^2 rad(2)

@eidosm purtroppo non ho la risposta io mi trovo 141/200 b²



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