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Esercizio di fisica [Pag.145 Es.67]

  

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Un'asta graduata lunga 1,00 m è in equilibrio quando è appesa esattamente in corrispondenza della tacca dei 50,0 cm. Se si pone una massa di 50g sulla tacca dei 90,0 cm, l'asta è in equilibrio quando è appesa in corrispondenza della tacca 61,3 cm. Qual è la massa dell'asta? [Risultato: 127g]

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@G4bbo7

Ciao. Il baricentro dell’asta è ovviamente in corrispondenza della tacca di 50 cm. In corrispondenza di esso viene fissato il peso dell’asta stessa. Nel momento in cui viene fissata una nuova posizione per le rotazioni dell’asta ( quindi ad una cerniera in una nuova posizione) l’asta ruota. Il momento dovuto al peso dell’asta vale: M1= ( x*g)*(0.613-0.5). Esso provocherebbe una rotazione antioraria se immaginiamo che la gradazione dell’asta proceda da sinistra verso destra. Con x è indicata la massa dell’asta e con g l’accelerazione di gravità (9.81 m/s^2). Per l’equilibrio alla rotazione è stata posta una massa m=0.05 kg ad una distanza dalla cerniera pari a (0.9-0.613)m che provoca una rotazione oraria è che contrasta la rotazione dovuta alla massa x.

In sostanza devi scrivere l’equazione in x: M1=M2 e cioè:

x*g*0.113=0.05*g*0.287

risolvi in x ed ottieni il valore cercato della massa dell’asta.

Ciao




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Essere "in equilibrio quando è appesa esattamente ..." al centro vuol dire che la densità lineare d è costante.
Con le masse date in grammi e le posizioni date in centimetri con un decimale conviene ragionare direttamente in grammi e millimetri (e grammomillimetri per i momenti di massa) anziché in unità SI.
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Un'asta con densità lineare costante di d g/mm ha una tacca ogni millimetro.
L'asta, lunga un metro, è in equilibrio se è sospesa sulla tacca dei 613 mm con una massa di 50 g appesa alla tacca dei 900 mm.
Si chiede di dimostrare che la massa m dell'asta è di 127 g.
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Considerando le tacche numerate da sinistra a destra non da zero a 999 come se fossero un sistema d'ascisse, ma stupidamente da uno a mille, i momenti rispetto al punto di sospensione sono come segue.
1) Massa d'asta "d*L" a destra, nel baricentro dei 387 mm, con braccio L/2
* M1 = d*L^2/2 = d*149769/2
2) Come sopra per i 613 mm a sinistra
* M2 = d*L^2/2 = d*375769/2
3) Massa di 50 g appesa alla tacca dei 900 mm, con braccio 287 mm
* M3 = 50*287 = 14350
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Si ha equilibrio se la somma dei momenti orarii (M1, M3) eguaglia quello antiorario
* M1 + M3 = M2 ≡
≡ d*149769/2 + 14350 = d*375769/2 ≡
≡ d = 287/2260 ~= 0.12699115044247788 g/mm
quindi per l'intera lunghezza di mille millimetri si ha la massa richiesta
* m ~= 126.99115044247788 ~= 127 g

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L'asta è in equilibrio quando è sospesa per il suo centro di massa C,

Quindi il centro di massa della sola asta ha ascissa

xC = L/2 = 50,0 cm

avendo scelto l'asta come asse X e posta l'origine in corrispondenza della graduazione 0.

Successivamente il centro di massa del sistema ha ascissa

xC' = 61,3 cm

Quindi, detta M la massa dell'asta e d = 90,0 cm l'ascissa di m = 50 g, sarà:

(M + m) xC' = M xC + m d

da cui

M = m (d - xC')/(xC' - xC) = 50*(90 - 61,3)/(61,3 - 50) = 127 g






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