[Risolto] Esercizio di Fisica

Volume: V = 4/3 pigreco r^3 = 4/3 * 3,14 * 10^3 = 4187 m^3;

massa Elio = d He * V = 0,14 * 4187 = 586,2 kg;

massa da sollevare M = 100 kg + 586,2 kg = 686,2 kg;

Forza peso verso il basso:

Fp = 686,2 * 9,8 = 6725 N;

F Archimede verso l'alto:

F arc = d aria * V * g = 1,30 * 4187 * 9,8 = 53342 N; 

F risultante verso l'alto:

F = 53342 + (- 6725) = 46617 = 4,7 * 10^4 N;

accelerazione:

a = F / M = 46617 / 686,2 = 67,9 m/s^2 = 70 m/s^2 (circa).

Volume sfera V = π/6*d^3 = 0,52360*20^3 = 4.188,8 m^3

spinta ascensionale F = V(ρa-ρe)*g = 4188,8*(1,30-0,14)*9,806 = 47.647 N

forza peso gravante Fp = g*m = 9,806*100 = 980,6 N 

accelerazione a = (F-Fp) /(m+me) = (47.647-980,6)/(100+4.188,8*0,14) = 68,0 m/sec^2  (poco meno di un missile )

Se, in luogo di m= 100 kg , assumiamo m' = 4.500 kg : 

forza peso gravante Fp' = g*m' = 9,806*4,5*10^3 N 

accelerazione a' = (F-Fp') /(m'+me) = (47.647-9806*4,5)/(4500+4.188,8*0,14) = 0,69 m/sec^2  

La sfera di raggio r e di densità ρ ha una massa propria m = (4/3)*π*ρ*r^3, a cui s'aggiunge un carico di massa c per una massa totale M = c + m.
Immersa in un fluido di densità δ > ρ essa subisce le due forza
* la forza di gravità F = g*M = g*(c + (4/3)*π*ρ*r^3)
* la spinta d'Archimede S = g*(4/3)*π*δ*r^3
che danno una risultante ascensionale
* A = S - F = g*(4/3)*π*δ*r^3 - g*(c + (4/3)*π*ρ*r^3) =
= (g/3)*(4*π*(δ - ρ)*r^3 - 3*c)
e la richiesta accelerazione
* a = A/M = ((g/3)*(4*π*(δ - ρ)*r^3 - 3*c))/((c + (4/3)*π*ρ*r^3)) =
= g*(4*π*(δ - ρ)*r^3 - 3*c)/(3*c + 4*π*ρ*r^3)
Sostituendo i valori
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
* π ~= 355/113
* δ = 1,30 = 13/10 kg/m^3
* ρ = 0,14 = 7/50 kg/m^3
* r = 10 m
* c = 100 kg
si ottiene
* a = g*(4*π*(δ - ρ)*r^3 - 3*c)/(3*c + 4*π*ρ*r^3) =
= (196133/20000)*(4*π*(13/10 - 7/50)*10^3 - 3*100)/(3*100 + 4*π*(7/50)*10^3) =
= 196133*(232*π - 15)/(20000*(15 + 28*π)) ~=
~= 196133*(232*355/113 - 15)/(20000*(15 + 28*355/113)) ~=
~= 243401053/3580000 ~=
~= 67.989 m/s^2
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ATTENZIONE
* a/g ~= (243401053/3580000)/(196133/20000) = 1241/179 ~= 6.93
un'accelerazione di circa 7*g per una mongolfiera farebbe ridere i polli.
Anche tenendo conto degli attriti viscosi resterebbe implausibile.
DEV'ESSERCI PIU' D'UN DATO MOLTO SBALLATO.

SECONDA RISPOSTA: DI DATI SBALLATI CE N'ERANO A BIZZEFFE!
La curiosità mi ha indotto a condurre una ricerchina sugli aeròstati.
Fonte primaria reperita al link

Regolamento FAI, edizione 2019 (corrente)
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"una mongolfiera ... piena di elio" ERRORE
La mongolfiera è un aerostato di classe AX, ed è piena di aria calda.
Se è "piena di elio" è un pallone a gas, aerostato di classe AA.
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"di raggio 10 m" ERRORE
Regolamento FAI, pag. 8
«II.4 Il volume massimo ammesso per le gare di classe AA è di 1050 metri cubi»
quindi
* r^3 <= 1575/(2*π) m^3 ≡ r <= 6.30522 m
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"un corpo di massa 100 kg" ERRORE
La massa di un pallone di medie dimensioni, capace di portare tre o quattro persone, con volume tra i 2000 e i 3000 m^3 è dell'ordine di 2 tonnellate e mezza; cioè dell'ordine di 1 kg/m^3
PRESUMIBILMENTE QUI CI FU L'ERRORE DI TRASCRIZIONE: l'ultimo zero rimase nella tastiera.
PIU' RAGIONEVOLMENTE: un corpo di massa 1000 kg.
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"elio (densita'=0,14 kg/m3)" ERRORE
"la densita' dell'aria sia 1,30 kg/m3" ERRORE
In condizioni normali le densità sono
* δ = 6/5 kg/m^3
* ρ = 1/6 kg/m^3
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RICALCOLO CON QUESTI VALORI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
* δ = 6/5 kg/m^3
* ρ = 1/6 kg/m^3
* r^3 = 1575/(2*π) m^3
* c = 1000 kg
e trovo
* a = g*(4*π*(δ - ρ)*r^3 - 3*c)/(3*c + 4*π*ρ*r^3) =
= (196133/20000)*(4*π*(6/5 - 1/6)*1575/(2*π) - 3*1000)/(3*1000 + 4*π*(1/6)*1575/(2*π)) =
= 3334261/4700000 ~= 0.709 m/s^2
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E QUESTO SI' CHE UN VALORE ATTENDIBILE!