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Risultato discorde rispetto al testo (prob. sul trapezio rettangolo)

  

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Il testo indica come risultato [9(10+√3)]/2 cm^2. Come mai?

Autore

Testo del problema: "In un trapezio rettangolo il lato obliquo misura 6 cm e forma un angolo di 30° con la base maggiore. Determina l'area del trapezio sapendo che il perimetro è 3(13+√3) cm".

2 Risposte
4

L'area S del trapezio rettangolo è il prodotto fra l'altezza h e la media delle basi (a, b), con 0 < a < b,
* S = h*(a + b)/2
Il lato obliquo, lungo L, è ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza h e la differenza, d = b - a, fra le basi
* L^2 = h^2 + (b - a)^2
Il perimetro p è ovviamente
* p = a + b + h + L
Che il lato obliquo formi un angolo di 30° con la base maggiore significa che il detto triangolo rettangolo è metà di un triangolo equilatero di cui d è l'altezza ed L il lato che pertanto è il doppio di h
* h = L/2
---------------
RIASSUMENDO
* (h = L/2) & (p = a + b + h + L) & (S = h*(a + b)/2) & (L^2 = h^2 + (b - a)^2) ≡
≡ (p = a + b + L/2 + L) & (S = (L/2)*(a + b)/2) & (L^2 = (L/2)^2 + (b - a)^2) ≡
≡ (a + b = p - 3*L/2) & (S = (L/4)*(p - 3*L/2)) & ((b - a)^2 = (3/4)*L^2) ≡
≡ (a + b = p - 3*L/2) & (S = (L/8)*(2*p - 3*L)) & ((b - a)^2 = (3/4)*L^2)
Non essendo richieste le misure delle basi, basta sostituire in S i valori dati
* (L = 6) & (p = 3*(13 + √3)) cm
per ottenere
* S = (L/8)*(2*p - 3*L) =
= (6/8)*(2*3*(13 + √3) - 3*6) = (9/2)*(10 + √3) ~= 52.79 cm^2
che è proprio il risultato atteso.




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trapezio1

La tua figura è sbagliata, gli angoli sono scambiati....

h = 3 cm;

Lato obliquo = 6 cm;

BH = radice(6^2 - 3^2) = radice(27) = 3 radice(3);

Lato AD = h = 3 cm;

Somma delle basi = Perimetro - ( 6 + 3);

Somma basi = 3(13 + radice(3)) - 9 = 39 + 3 radice(3) - 9;

Somma basi = 30 + 3 radice(3); (B + b).

Area  = (B + b) * h / 2 = [30 + 3 radice(3)] * 3 / 2 = 

= [90 + 9 radice(3)] /2 = 9/2 * [10 + rad(3)] cm^2.



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