[Risolto] Esercizio con funzione omografica

TESTO
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Nella famiglia di curve descritta dall'equazione parametrica
* Γ(a, b, c) ≡ y = (2*x - a)/(b*x + c)
individuare, se esiste, quella che ha le rette
* y = 1 come asintoto
* t ≡ y = 5*x - 4 come tangente in A(0, - 4)
Se tale curva esiste e risulta un'iperbole determinare
* il suo centro C
* la retta r per C parallela alla bisettrice dei quadranti pari
* l'intersezione r & t ≡ B
* l'area S(ABC) del triangolo ABC.
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PREMESSE
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A) L'area S del triangolo che ha i vertici P1(x1, y1), P2(x2, y2), P3(x3, y3) è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate
* S = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.
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B) Il fascio delle parallele alla bisettrice dei quadranti pari è
* p(q) ≡ y = q - x
Quella per C(u, v), dovendo soddisfare a
* v = q - u ≡ q = u + v
è
* p(u + v) ≡ y = u + v - x
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C) La curva corrispondente a
* y = (2*x - a)/(b*x + c)
ha
* pendenza dy/dx = m(x) = (a*b + 2*c)/(b*x + c)^2
* asintoto orizzontale y = 2/b
* asintoto verticale x = - c/b
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RISOLUZIONE
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1) Avere y = 1 come asintoto vuol dire y = 2/b = 1 ≡ b = 2, da cui
* Γ(a, c) ≡ y = (2*x - a)/(2*x + c)
* pendenza m(x) = 2*(a + c)/(2*x + c)^2
* asintoto verticale x = - c/2
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2) Il passaggio per A(0, - 4) impone il vincolo
* - 4 = (2*0 - a)/(2*0 + c) ≡ a = 4*c, da cui
* Γ(c) ≡ y = (2*x - 4*c)/(2*x + c)
* pendenza m(x) = 10*c/(2*x + c)^2
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3) La tangenza in A(0, - 4) con la retta t, di pendenza 5, impone il vincolo
* m(0) = 10*c/(2*0 + c)^2 = 5 ≡ c = 2, da cui
* Γ ≡ y = (x - 4)/(x + 1)
* asintoto verticale x = - 1
* centro C(- 1, 1)
* r ≡ p(0) ≡ y = - x
* r & t ≡ (y = - x) & (y = 5*x - 4) ≡ B(2/3, - 2/3)
* S(ABC) = 10/3

y = (2·x - a)/(b·x + c)

L'asintoto orizzontale si deduce dal rapporto dei coefficienti della x:

2/b = 1-------> b = 2

La funzione omografica si semplifica in: y = (2·x - a)/(2·x + c)

poi deve passare per A(0,-4):

-4 = (2·0 - a)/(2·0 + c)-----> -4 = - a/c

retta tangente in A: y = 5·x - 4-----> m=5 , pari al valore della derivata della funzione in x=0

y'(0)=5------>2·(a + c)/(2·0 + c)^2 = 5------> (a = 4·c)------>2·(4·c + c)/(2·0 + c)^2 = 5

10/c = 5---> c = 2

a = 4·2----->a = 8

y = (2·x - 8)/(2·x + 2)--------> y = (x - 4)/(x + 1)

si riconosce il centro C di simmetria:

asintoto verticale x+1=0----> x=-1; asintoto orizzontale: y=1

C(-1,1)

bisettrice del 2° e 4° quadrante: y=-x  da cui m=-1

La retta parallela coincide con la bisettrice: y - 1 = - 1·(x + 1)-----> y = -x

{y = -x

{y = 5·x - 4

risolvo: x = 2/3 ∧ y = - 2/3 ----->B(2/3,-2/3)

Per l'area metodo dell'allacciamento delle scarpe:

[0, -4]

[2/3, - 2/3]

[-1, 1]

[0, -4]

Area triangolo ABC=

=1/2·ABS(0·(- 2/3) + 2/3·1 + (-1)·(-4)+

- (0·1 + (-1)·(- 2/3) + 2/3·(-4))) = 10/3