esercizi con le coniche

Question

a. Nel fascio di curve di equazione (k+1)x^2+y^2-2kx+2y+k=0 individa per quale valore di k si ottiene una circonferenza e rappresentla graficamente indicado con O e A le sua intersezioni on gli assi cartesiani.

b. Studia la curva che si ottiene per k=1 e chiama B la sua intersezione con la circonferenza.

c. Stavilisci pe quali valori di k l'equaazione data rappresenta un'ellisse e in tal caso determinare il luogo dei entri L.

d. Determina il luogo L' simmetrico di L rispetto alla bisettrie del primo e terzo quadrante. Il luogo L' interseca la parabola nei punti C e D. Verifia che il triangolo BCD è simile al triangolo OAB e alcolarne il rapporto r di similitudine.

Autore

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Antonio22

(@antonio22)

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28/05/2020 19:00

Sebastiano · Accepted Answer

a) per ottenere una circonferenza il coefficiente di $x^{2}$ deve essere pari a 1, quindi

$k + 1 = 1$ da cui $k = 0$ .

l'eq. risulta:

$x^{2} + y^{2} + 2 y = 0$

per k=-1 l'eq. diventa:

$y^{2} + 2 x + 2 y - 1 = 0$ cioè $x = - y^{2} / 2 - y + 1 / 2$ che rappresenta una parabola con asse parallelo all'asse delle x.

mettendo a sistema con la circonferenza esce:

$(- y^{2} / 2 - y + 1 / 2)^{2} + y^{2} + 2 y = 0$ che dopo avere esplicitato il quadrato diventa:

$y^{4} + 4 y^{3} + 6 y^{2} + 4 y + 1 = 0$

si riconosce facilmente (triangolo di Tartaglia) che questo non è altro che

$(y + 1)^{4} = 0$ che ha 4 radici coincidenti in $y = - 1$

corrispondentemente l'ascissa dell'unico punto di intersezione è $x = - 1 / 2 + 1 + 1 / 2 = 1$

Il punto di intersezione (e di tangenza) è quindi $B (1, - 1)$

c)per essere un'ellisse deve succedere che i coefficienti di $x^{2}$ e $y^{2}$ siano entrambi positivi (concordi) quindi $k + 1 > 0$ da cui si ricava $k > - 1$

Sebastiano

(@sebastiano)

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28/05/2020 19:04

[Risolto] esercizi con le coniche

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