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[Risolto] esercizi con le coniche

  

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a. Nel fascio di curve di equazione (k+1)x^2+y^2-2kx+2y+k=0 individa per quale valore di k si ottiene una circonferenza e rappresentla graficamente indicado con O e A le sua intersezioni on gli assi cartesiani.

b. Studia la curva che si ottiene per k=1 e chiama B la sua intersezione con la circonferenza.

c. Stavilisci pe quali valori di k l'equaazione data rappresenta un'ellisse e in tal caso determinare il luogo dei entri L.

d. Determina il luogo L' simmetrico di L rispetto alla bisettrie del primo e terzo quadrante. Il luogo L' interseca la parabola nei punti C e D. Verifia che il triangolo BCD è simile al triangolo OAB e alcolarne il rapporto r di similitudine.

20200528 185609[1]
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a) per ottenere una circonferenza il coefficiente di x2 deve essere pari a 1, quindi

k+1=1 da cui k=0.

l'eq. risulta:

x2+y2+2y=0

image

per k=-1 l'eq. diventa:

y2+2x+2y1=0 cioè x=y2/2y+1/2 che rappresenta una parabola con asse parallelo all'asse delle x.

mettendo a sistema con la circonferenza esce:

(y2/2y+1/2)2+y2+2y=0 che dopo avere esplicitato il quadrato diventa:

y4+4y3+6y2+4y+1=0

si riconosce facilmente (triangolo di Tartaglia) che questo non è altro che 

(y+1)4=0 che ha 4 radici coincidenti in y=1

corrispondentemente l'ascissa dell'unico punto di intersezione è x=1/2+1+1/2=1 

Il punto di intersezione (e di tangenza) è quindi B(1,1)

image

 c)per essere un'ellisse deve succedere che i coefficienti di x2 e y2 siano entrambi positivi (concordi) quindi k+1>0 da cui si ricava k>1

@sebastiano Grazie mille

@saibrus si può sapere perchè mi ha votato negativamente? cosa non ti piace di questa soluzione?

Grazie Seba, ti trovo proprio un bell'uomo, soprattutto per la pelata😘😘😘



Risposta
SOS Matematica

4.6
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