[Risolto] una funzione

$$ y = \frac{3-x^2}{x+1}$$ 

Il dominio è tutto R tranne -1 Vero.

Le intersezioni mi vengono a(0;3) b(+ –1,73;0) Vero.

La derivata prima mi viene y'= -x²-2x-3/(x+1)² Vero.

La derivata seconda ho provato a farla in due modi e non so quale sia quello corretto.

In uno mi viene y"=-2x+4/(x+1)⁴ e nell'altra y"= 4/(x+1)⁴

Calcoliamo la derivata seconda ( Indichiamo con $D(.....)$ l'operazione di derivata):

y'' $= \frac{D(-x^2-2x-3) \cdot (x+1)^2-(-x^2-2x-3) \cdot D( (x+1)^2 )}{(x+1)^4} $

$ = \frac{(-2x-2) \cdot (x+1)^2-(-x^2-2x-3)2(x+1)}{(x+1)^4} = $

$=\frac{4x+4}{(x+1)^4} = \frac{4}{(x+1)^3}$

Quindi ha concavità positiva per $x > -1$ e concavità negativa per $x < -1 $.

La positività della funzione la calcoliamo facendo:

$ \frac{3-x^2}{x+1} \geq 0 $

$N : 3-x^2 \geq 0 \Rightarrow -\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3} $

$D: x+1 > 0 \Rightarrow x > -1 $

Facendo la tabella dei segni :

è positiva per $ x < \sqrt{3} \vee -1 < x < \sqrt{3}$

è negativa per $ -\sqrt{3} < x < -1 \vee x > \sqrt{3} $

è nulla nell'intersezione con l'asse $x$, cioè $ x = \pm \sqrt{3}$