[Risolto] Risoluzione di studio di funzione esponenziale

DOMINIO

le funzioni esponenziali sono continue in tutto R, quindi l'unico problema di dominio è quello del denominatore di quella frazione (infatti una frazione con denominatore zero non esiste)

x^2 -3x + 2 = 0

si trovano le due soluzioni che sono x=2 e x=1

quindi la funzione esiste sempre a patto che x sia diverso da 1 e da 2

SIMMETRIE

le funzioni esponenziali non hanno simmetrie per loro natura di solito, inoltre l'esponente non è nè pari nè dispari perchè ha sia x sia x^2. In sostanza, non ci sono simmetrie.

INTERSEZIONI

se x=0 la funzione vale 0, quindi il grafico passa per l'origine.

se y=0 troviamo nuovamente x=0 quindi l'unico punto di intersezione è O(0;0)

SEGNO 

la funzione è positiva solo se  e^(x^2/x^2-3x+2) > 1

un esponenziale è maggiore di 1 solo se l'esponente è maggiore di 0 quindi:

x^2/(x^2-3x+2) > 0

per studiare il segno di una frazione basta studiare il segno di numeratore e denominatore.

x^2 >0 sempre perchè è un quadrato e quindi sempre positivo

x^2 - 3x + 2> 0  se     x<1   o    x>2  (risultati della disequazione di secondo grado)

mettendo tutto in una tabella otteniamo che la frazione è positiva solo se x<1 o x>2

LIMITI

Bisogna fare i limiti agli estremi del dominio, quindi per x che tende a + o - infinito, 1 e 2.

i risultati di questi limiti sono qui: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+e%5E%28x%5E2%2F%28x%5E2+-3x%2B2%29%29+-1

sono limiti semplici, non creda serva spiegarli (in tal caso scrivimi). Praticamente dipendono tutti dal risultato dell'esponente quando si fa il limite:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%5E2%2F%28x%5E2+-3x%2B2%29

 

DERIVATA PRIMA 

La derivata di un esponenziale non è altro che l'esponenziale stesso moltiplicato per la derivata dell'esponente:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+e%5E%28x%5E2%2F%28x%5E2+-3x%2B2%29%29+-1

considera che l'esponente è una frazione, quindi dovrai applicare la regola per derivare le frazioni. 

ora dobbiamo studiare il segno della derivata prima.

per prima cosa notiamo che il denominatore è un quadrato quindi è sempre positivo, mentre al numeratore abbiamo un esponenziale che quindi è sempre positivo.

il segno allora dipende unicamente da quel x(3x-4) al numeratore (considerando sempre che x deve essere diverso da 1 e da 2)

studiando x(3x-4) vediamo che la derivata è positiva se 0<x<1  e  1<x<4/3 , dove x=1 è un punto dove non c'è dominio. 

quindi la funzione ha due punti stazionari: x=0 è un minimo mentre x=4/3 è un massimo

 

DERIVATA SECONDA

qui la derivata di fa più complessa perchè devi fare la derivata del prodotto di due funzioni, di cui una è esponenziale e l'altra è fratta.

qui i calcoli diventano complessi perchè si ottiene un polinomio di quinto grado, quindi irei che i flessi possono essere intuiti dal grafico mentre si disegna il resto.