Ciao, ho davvero bisogno di riuscire a fare lo studio di questa funzione esponenziale, cercando di capire passo passo i procedimenti.
Vi ringrazio in anticipo!! 🙂 🙂 🙂 🙂 🙂 🙂 🙂
Ciao, ho davvero bisogno di riuscire a fare lo studio di questa funzione esponenziale, cercando di capire passo passo i procedimenti.
Vi ringrazio in anticipo!! 🙂 🙂 🙂 🙂 🙂 🙂 🙂
DOMINIO
le funzioni esponenziali sono continue in tutto R, quindi l'unico problema di dominio è quello del denominatore di quella frazione (infatti una frazione con denominatore zero non esiste)
x^2 -3x + 2 = 0
si trovano le due soluzioni che sono x=2 e x=1
quindi la funzione esiste sempre a patto che x sia diverso da 1 e da 2
SIMMETRIE
le funzioni esponenziali non hanno simmetrie per loro natura di solito, inoltre l'esponente non è nè pari nè dispari perchè ha sia x sia x^2. In sostanza, non ci sono simmetrie.
INTERSEZIONI
se x=0 la funzione vale 0, quindi il grafico passa per l'origine.
se y=0 troviamo nuovamente x=0 quindi l'unico punto di intersezione è O(0;0)
SEGNO
la funzione è positiva solo se e^(x^2/x^2-3x+2) > 1
un esponenziale è maggiore di 1 solo se l'esponente è maggiore di 0 quindi:
x^2/(x^2-3x+2) > 0
per studiare il segno di una frazione basta studiare il segno di numeratore e denominatore.
x^2 >0 sempre perchè è un quadrato e quindi sempre positivo
x^2 - 3x + 2> 0 se x<1 o x>2 (risultati della disequazione di secondo grado)
mettendo tutto in una tabella otteniamo che la frazione è positiva solo se x<1 o x>2
LIMITI
Bisogna fare i limiti agli estremi del dominio, quindi per x che tende a + o - infinito, 1 e 2.
i risultati di questi limiti sono qui:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+e%5E%28x%5E2%2F%28x%5E2+-3x%2B2%29%29+-1
sono limiti semplici, non creda serva spiegarli (in tal caso scrivimi). Praticamente dipendono tutti dal risultato dell'esponente quando si fa il limite:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+x%5E2%2F%28x%5E2+-3x%2B2%29
DERIVATA PRIMA
La derivata di un esponenziale non è altro che l'esponenziale stesso moltiplicato per la derivata dell'esponente:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=derive+e%5E%28x%5E2%2F%28x%5E2+-3x%2B2%29%29+-1
considera che l'esponente è una frazione, quindi dovrai applicare la regola per derivare le frazioni.
ora dobbiamo studiare il segno della derivata prima.
per prima cosa notiamo che il denominatore è un quadrato quindi è sempre positivo, mentre al numeratore abbiamo un esponenziale che quindi è sempre positivo.
il segno allora dipende unicamente da quel x(3x-4) al numeratore (considerando sempre che x deve essere diverso da 1 e da 2)
studiando x(3x-4) vediamo che la derivata è positiva se 0<x<1 e 1<x<4/3 , dove x=1 è un punto dove non c'è dominio.
quindi la funzione ha due punti stazionari: x=0 è un minimo mentre x=4/3 è un massimo
DERIVATA SECONDA
qui la derivata di fa più complessa perchè devi fare la derivata del prodotto di due funzioni, di cui una è esponenziale e l'altra è fratta.
qui i calcoli diventano complessi perchè si ottiene un polinomio di quinto grado, quindi irei che i flessi possono essere intuiti dal grafico mentre si disegna il resto.
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