[Risolto] Individuare subito la radice razionale

la tua domanda è interessante ma la matematica è una disciplina troppo grande per poterti dare una vera risposta ahahah

senz'altro usare l'ingegno e l'intuito sono i modi più efficaci per arrivare ad una soluzione rapida, anche se sono i metodi più complessi!

secondo me il modo più comodo è Ruffini, l'importante è capire come usarlo al meglio

per esempio, osservando i coefficienti capiamo subito che 1 non può essere una soluzione ed allo stesso modo 225 è un numero troppo grande per essere una soluzione (considera che 200^3 è 8 milioni, quindi non arriverai mai a zero usando ruffini).

inoltre i divisori negativi non funzionerebbero, perchè altrimenti tutti i termini sarebbero negativi e quindi non arriveresti mai allo zero!

quindi senza fare mezzo calcolo abbiamo già tolto più della metà dei divisori 👍 

un altro metodo che ti può aiutare è quello della scomposizione in fattori primi: è senz'altro un modo per evitare le moltiplicazioni o le potenze troppo complesse.

per esempio i nostri coefficienti si scompongono in maniera rapida:

1=1

22=2*11

120=2*3*4*5     (notare infatti che 120=5!)

225=15^2= 3^2 * 5^2

in questo modo puoi evitare di fare le moltiplicazioni quando sostituisci la x.

infatti se scegliamo x=5 otteniamo:

5^3 - 2*5^2 *11 + 2*3*4*5^2 - 3^2 * 5^2 =0

come vedi un 5^2 si può raccogliere:

5^2 * (5 - 2*11 + 2*3*4 - 3^2) = 25*(5-22+24-9) = 25* (-2) = -50

che non fa zero!

proviamo con il x=15, cioè x=3*5:

3^3 * 5^3 - 2* 3^2 * 5^2 *11 + 2*3^2 * 4* 5^2 - 3^2 * 5^2 =0

qui raccogliamo 3^2 * 5^2 = 9*25

9*25*(3*5 - 2*11 + 2*4 - 1) = 9*25*(15 -22 +8-1) = 0

quindi x=15 può essere usato per Ruffini!

SPIEGAZIONE

Il primo passo del procedimento consiste nel cercare un numero tale che, una volta sostituito al posto di $x$, faccia diventare il polinomio uguale a zero; cioè, vogliamo un numero $a\in\mathbb{R}$ che $P(a)=0$.

Nella regola di Ruffini, il trucco che si applica per trovare questo numero è: cercare all’interno di tutti numeri della forma $\frac{a}{b}$, con $a$ divisore del termine noto del polinomio preso in considerazione e $b$ divisore del coefficiente del termine di grado massimo.

Spiegazione più approfondita su $\Rightarrow$Zanichelli.

SOLUZIONE

Troviamo i divisori:

$\pm1;~\pm3;~\pm5;~\pm15;~\pm25;~\pm45;~\pm75;~\pm225$

Adesso, si tratta di andare ad occhio e di avere un po’ di fortuna!

• $\pm1$ no, è un numero troppo piccolo
• $\pm3$ no, ancora troppo piccolo
• $\pm5$ potrebbe andare bene
• $\pm15$ anche questo può andare bene
• $\pm25$ no, è un numero troppo grande

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Proviamo con $+5$:

$5^{3}-22\cdot5^{2}+120\cdot5-225=0$

$125-550+600-225=0$

$-50=0$

$falso$

Purtroppo $+5$ non è il numero che cerchiamo e quindi, probabilmente, non lo sarà nemmeno $-5$.

__________________________________

Proviamo con $+15$:

$15^{3}-22\cdot15^{2}+120\cdot15-225=0$

$3375-22\cdot15^{2}+1800-225=0$

$4950-4950=0$

$0=0$

$vero$

__________________________________

Abbiamo trovato il numero giusto, ora procediamo con la scomposizione mediante Ruffini:

$P(15)=0$

$(x^{2}-7x+15)\cdot(x-15)=0$

Se il prodotto di due fattori è $0$, almeno uno dei due fattori è uguale a $0$:

$x-15=0\Rightarrow{x}=15$

$x^{2}-7x+15=0\Rightarrow{x}\not\in\mathbb{R}$

 

Soluzione:

$x=15$
 

QUINDI...

Putroppo credo che non esista alcuna regola per trovare immediatamente il divisore, spero che qualcuno possa contraddirmi, ma per quanto ne so io no.

Purtroppo non c'è un metodo matematico, algoritmico per ricavare la radice del polinomio. Devi andare a occhio, e come in tanti altri casi, la verità sta nel mezzo. Io mi sentirei di escludere per esempio a occhio l'1 e il 3, così come 45, 75 e 225. Ho provato il 5, e non va, subito dopo ho provato il 15 e ho azzeccato. Come vedi i tentativi sono stati solo due. 

Non credo che esista un metodo generale. Le risposte che ti sono state date sono basate sul buon senso e sono giustissime.

Se ti serve solo la risposta veloce e non un modo per "dimostrare che lo sai fare" lo chiedi a Octave Online, ma giusto per non fare un lavoraccio inutile qualora la desiderata radice razionale non esista. La radice esiste ed è 15.

 

v = [1 -22 120 -225]
v =

     1   -22   120  -225  

roots(v)
ans =

   15.0000 +       0i
    3.5000 +  1.6583i
    3.5000 -  1.6583i

Vedo la domanda dopo quasi otto ore dalla pubblicazione e aggiungo un'altra procedura empirica a quelle che hai già ricevuto.
Cerco di risponderti in ordine di difficoltà.
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A) "Individuare subito la radice razionale" TE L'HA DETTO LA MAMMA CHE DEVE ESISTERE ED ESSERE UNICA?
Un polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha un numero dispari di zeri reali, ma può non averne uno razionale.
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B) "Devo davvero provare uno ad uno pregando alla fine esca lo 0?" MA NEMMENO PER IDEA!
Devi fare solo tante valutazioni quante ne bastano a isolare uno zero, poi provi solo i divisori interni all'intervallo di separazione.
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C) CASO PARTICOLARE
Il polinomio
* p(x) = x^3 - 22*x^2 + 120*x - 225 = x*(x*(x - 22) + 120) - 225 = (x - r)*(x^2 - s*x + p)
( p(x) = forma canonica = forma di Ruffini = forma fattorizzata)
Vale il termine noto, negativo, nell'origine; per separare lo zero reale basta trovare un valore per cui sia positivo; poi, eventualmente, restringere l'intervallo.
* p(0) = 0*(0*(0 - 22) + 120) - 225 = - 225 < 0
* p(225) = 225*(225*(225 - 22) + 120) - 225 = 10303650 > 0
Intervallo #1: 0 < r < 225
floor((0 + 225)/2) = 112
* p(112) = 112*(112*(112 - 22) + 120) - 225 = 1142175 > 0
Intervallo #2: 0 < r < 112
floor((0 + 112)/2) = 56
* p(56) = 56*(56*(56 - 22) + 120) - 225 = 113119 > 0
Intervallo #3: 0 < r < 56
floor((0 + 56)/2) = 28
* p(28) = 28*(28*(28 - 22) + 120) - 225 = 7839 > 0
Intervallo #4: 0 < r < 28
floor((0 + 28)/2) = 14
* p(14) = 14*(14*(14 - 22) + 120) - 225 = - 113 < 0
Intervallo #5: 14 < r < 28
floor((14 + 28)/2) = 21
* p(21) = 21*(21*(21 - 22) + 120) - 225 = 1854 > 0
Intervallo #6: 14 < r < 21
Fra 14 e 21 c'è un solo candidato: 15.
* p(15) = 15*(15*(15 - 22) + 120) - 225 = 0
Quindi
* r = 15
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Invece delle 18 valutazioni temute, una per ogni divisore (54 moltiplicazioni + 54 addizioni) ne sono occorse sette (21 moltiplicazioni + 21 addizioni + 6 dimezzamenti)

the quickest !!!😉