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[Risolto] Individuare subito la radice razionale

  

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Buondì popolo dei numeri,  cercando di risolvere un'equazione mi son ritrovato a questo punto: 
$x^3-22x^2+120x-225=0$.

Non vedendo possibili scomposizioni ed essendo in preda di dubbi sulla scomponibilità di questo polinomio, ho deciso di optare per Ruffini! Mi è calato un po' l'entusiasmo poiché i divisori di $225$ sono molteplici, e provarli uno ad uno, provoca una lievissima sofferenza dentro me. 😆 

$Divisori\:\left\{\pm 1,\:\pm 3,\pm 5,\pm 15,\:\pm 25,\:\pm 45,\pm 75,\:\pm 225\right\}$

Da qui mi è sorta una curiosità, non esiste un metodo per individuare subito il numero che sto cercando?! Devo davvero provare uno ad uno pregando alla fine esca lo 0? 😆 

D'altronde ci vuole anche un po' di tempo, non penso che i matematici non abbiano pensato a un modo per aggirare questo problema! 😏 

Il polinomio che ho scritto era per darvi un esempio, in realtà mi son sempre chiesto questa cosa, ogni volta che ho dovuto utilizzare Ruffini e cercare il numero desiderato. 

Grazie a chi risponderà 🖐️ 

Autore
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la tua domanda è interessante ma la matematica è una disciplina troppo grande per poterti dare una vera risposta ahahah

senz'altro usare l'ingegno e l'intuito sono i modi più efficaci per arrivare ad una soluzione rapida, anche se sono i metodi più complessi!

secondo me il modo più comodo è Ruffini, l'importante è capire come usarlo al meglio

per esempio, osservando i coefficienti capiamo subito che 1 non può essere una soluzione ed allo stesso modo 225 è un numero troppo grande per essere una soluzione (considera che 200^3 è 8 milioni, quindi non arriverai mai a zero usando ruffini).

inoltre i divisori negativi non funzionerebbero, perchè altrimenti tutti i termini sarebbero negativi e quindi non arriveresti mai allo zero!

quindi senza fare mezzo calcolo abbiamo già tolto più della metà dei divisori 👍 

un altro metodo che ti può aiutare è quello della scomposizione in fattori primi: è senz'altro un modo per evitare le moltiplicazioni o le potenze troppo complesse.

per esempio i nostri coefficienti si scompongono in maniera rapida:

1=1

22=2*11

120=2*3*4*5     (notare infatti che 120=5!)

225=15^2= 3^2 * 5^2

in questo modo puoi evitare di fare le moltiplicazioni quando sostituisci la x.

infatti se scegliamo x=5 otteniamo:

5^3 - 2*5^2 *11 + 2*3*4*5^2 - 3^2 * 5^2 =0

come vedi un 5^2 si può raccogliere:

5^2 * (5 - 2*11 + 2*3*4 - 3^2) = 25*(5-22+24-9) = 25* (-2) = -50

che non fa zero!

proviamo con il x=15, cioè x=3*5:

3^3 * 5^3 - 2* 3^2 * 5^2 *11 + 2*3^2 * 4* 5^2 - 3^2 * 5^2 =0

qui raccogliamo 3^2 * 5^2 = 9*25

9*25*(3*5 - 2*11 + 2*4 - 1) = 9*25*(15 -22 +8-1) = 0

quindi x=15 può essere usato per Ruffini!

@andreap Ho capito. Grazie dei consigli! 




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SPIEGAZIONE

Il primo passo del procedimento consiste nel cercare un numero tale che, una volta sostituito al posto di $x$, faccia diventare il polinomio uguale a zero; cioè, vogliamo un numero $a\in\mathbb{R}$ che $P(a)=0$.

Nella regola di Ruffini, il trucco che si applica per trovare questo numero è: cercare all’interno di tutti numeri della forma $\frac{a}{b}$, con $a$ divisore del termine noto del polinomio preso in considerazione e $b$ divisore del coefficiente del termine di grado massimo.

Spiegazione più approfondita su $\Rightarrow$Zanichelli.

SOLUZIONE

Troviamo i divisori:

$\pm1;~\pm3;~\pm5;~\pm15;~\pm25;~\pm45;~\pm75;~\pm225$

Adesso, si tratta di andare ad occhio e di avere un po’ di fortuna!

  • $\pm1$ no, è un numero troppo piccolo
  • $\pm3$ no, ancora troppo piccolo
  • $\pm5$ potrebbe andare bene
  • $\pm15$ anche questo può andare bene
  • $\pm25$ no, è un numero troppo grande

__________________________________

Proviamo con $+5$:

$5^{3}-22\cdot5^{2}+120\cdot5-225=0$

$125-550+600-225=0$

$-50=0$

$falso$

Purtroppo $+5$ non è il numero che cerchiamo e quindi, probabilmente, non lo sarà nemmeno $-5$.

__________________________________

Proviamo con $+15$:

$15^{3}-22\cdot15^{2}+120\cdot15-225=0$

$3375-22\cdot15^{2}+1800-225=0$

$4950-4950=0$

$0=0$

$vero$

__________________________________

Abbiamo trovato il numero giusto, ora procediamo con la scomposizione mediante Ruffini:

$P(15)=0$

C0B3457D 433D 4B66 84F6 778D89B753B5

$(x^{2}-7x+15)\cdot(x-15)=0$

Se il prodotto di due fattori è $0$, almeno uno dei due fattori è uguale a $0$:

$x-15=0\Rightarrow{x}=15$

$x^{2}-7x+15=0\Rightarrow{x}\not\in\mathbb{R}$

 

Soluzione:

$x=15$
 

QUINDI...

Putroppo credo che non esista alcuna regola per trovare immediatamente il divisore, spero che qualcuno possa contraddirmi, ma per quanto ne so io no.

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Purtroppo non c'è un metodo matematico, algoritmico per ricavare la radice del polinomio. Devi andare a occhio, e come in tanti altri casi, la verità sta nel mezzo. Io mi sentirei di escludere per esempio a occhio l'1 e il 3, così come 45, 75 e 225. Ho provato il 5, e non va, subito dopo ho provato il 15 e ho azzeccato. Come vedi i tentativi sono stati solo due. 

@anguus90 Grazie del consiglio.

Io da qualche parte, non ricordo dove, avevo letto che c'era un modo per scavalcare questa cosa. Era necessario però un livello di algebra avanzato 🤔 chissà. 




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Non credo che esista un metodo generale. Le risposte che ti sono state date sono basate sul buon senso e sono giustissime.

Se ti serve solo la risposta veloce e non un modo per "dimostrare che lo sai fare" lo chiedi a Octave Online, ma giusto per non fare un lavoraccio inutile qualora la desiderata radice razionale non esista. La radice esiste ed è 15.

 

v = [1 -22 120 -225]
v =

     1   -22   120  -225  

roots(v) ans = 15.0000 + 0i 3.5000 + 1.6583i 3.5000 - 1.6583i


@eidosm Non conoscevo questo software, grazie mille del consiglio!

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Vedo la domanda dopo quasi otto ore dalla pubblicazione e aggiungo un'altra procedura empirica a quelle che hai già ricevuto.
Cerco di risponderti in ordine di difficoltà.
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A) "Individuare subito la radice razionale" TE L'HA DETTO LA MAMMA CHE DEVE ESISTERE ED ESSERE UNICA?
Un polinomio di grado dispari a coefficienti reali ha un numero dispari di zeri reali, ma può non averne uno razionale.
---------------
B) "Devo davvero provare uno ad uno pregando alla fine esca lo 0?" MA NEMMENO PER IDEA!
Devi fare solo tante valutazioni quante ne bastano a isolare uno zero, poi provi solo i divisori interni all'intervallo di separazione.
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C) CASO PARTICOLARE
Il polinomio
* p(x) = x^3 - 22*x^2 + 120*x - 225 = x*(x*(x - 22) + 120) - 225 = (x - r)*(x^2 - s*x + p)
( p(x) = forma canonica = forma di Ruffini = forma fattorizzata)
Vale il termine noto, negativo, nell'origine; per separare lo zero reale basta trovare un valore per cui sia positivo; poi, eventualmente, restringere l'intervallo.
* p(0) = 0*(0*(0 - 22) + 120) - 225 = - 225 < 0
* p(225) = 225*(225*(225 - 22) + 120) - 225 = 10303650 > 0
Intervallo #1: 0 < r < 225
floor((0 + 225)/2) = 112
* p(112) = 112*(112*(112 - 22) + 120) - 225 = 1142175 > 0
Intervallo #2: 0 < r < 112
floor((0 + 112)/2) = 56
* p(56) = 56*(56*(56 - 22) + 120) - 225 = 113119 > 0
Intervallo #3: 0 < r < 56
floor((0 + 56)/2) = 28
* p(28) = 28*(28*(28 - 22) + 120) - 225 = 7839 > 0
Intervallo #4: 0 < r < 28
floor((0 + 28)/2) = 14
* p(14) = 14*(14*(14 - 22) + 120) - 225 = - 113 < 0
Intervallo #5: 14 < r < 28
floor((14 + 28)/2) = 21
* p(21) = 21*(21*(21 - 22) + 120) - 225 = 1854 > 0
Intervallo #6: 14 < r < 21
Fra 14 e 21 c'è un solo candidato: 15.
* p(15) = 15*(15*(15 - 22) + 120) - 225 = 0
Quindi
* r = 15
---------------
Invece delle 18 valutazioni temute, una per ogni divisore (54 moltiplicazioni + 54 addizioni) ne sono occorse sette (21 moltiplicazioni + 21 addizioni + 6 dimezzamenti)




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the quickest !!!😉

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